《数值分析误差》PPT课件.ppt
北京工业大学应用数理学院,数值分析,(计算方法),第一章：误差,主要内容,误差的来源与分类误差与有效数字在近似计算中应注意的几个问题,1.来源与分类(Source&Classification),模型误差参数误差(观测误差)方法误差(截断误差)舍入误差,1.1 模型误差(Modeling Error),用计算机解决实际问题时，首先要建立数学模型，各种实际问题是十分复杂的，而数学模型是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，往往忽略了一些次要因素，因而是近似的，我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。如自由落体公式忽略了空气阻力。,数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有误差，这种误差称为参数误差或观测误差。,例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，这个数值是由多次实验而得到的结果实际的值有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。,1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error),1.3 方法误差(截断误差 Truncation Error）,在数学模型（包括参数值）确定以后，就常要考虑选用某种数值方法具体进行计算，许多数值方法都是近似方法，故求出的结果与准确值之间是有误差的，该误差称为截断误差或方法误差。例如，函数f(x)用Taylor多项式,近似代替，则数值方法的截断误差为：,对于参与计算的数据用计算机做数值计算时，所计算数据的位数可能很多甚至可能有无穷多位，而计算机的字长有限的，因此只能对有限位进行计算，原始数据和计算结果在计算机上表示均用4舍5入或截去的方法进行处理，这种误差称为舍入误差。例如用近似代替，产生的误差：,即4舍5入产生的误差就是舍入误差。,1.4 舍入误差(Rounding Error）,1.5 各种误差产生的时机,实际问题,数学模型,数学方法,求解过程,计算结果,模型误差,参数误差,截断误差,舍入误差,舍入误差会产生积累，其他三种误差没有积累。,2.误差与有效数字(Error and Significant Digits),如果x*为x的近似值,称e*=x-x*为绝对误差。绝对误差往往是未知的，而只知道它的一个上限，此上限|e*|=|x-x*|记为*,称为绝对误差限(accuracy)。工程上常记为x=x*，例如,绝对误差(absolute error),相对误差(relative error),称为近似值x*的相对误差；的绝对值的上界 称为相对误差限，即,绝对误差限与相对误差限的关系,有效数字(Significant Digits),在实际计算中,经常按四舍五入原则取近似值.例如:,它们的误差都不会超过末位数字的半个单位,即,定义,设x为准确值,x*为x的近似值，记x*=0.a1a2an10m(其中a10),若|x-x*|0.510m-n(即an的截取按四舍五入规则)，则称x*有n位有效数字，精确到10m-n。,例如，如果取*=3.1415，问*有几位有效数字？证明：*=0.31415101|-*|=0.00009260.510-3=0.5101-4 所以有4位有效数字,精确到小数点后第3位。可以证明*=3.14159有6位有效数字。有效数字愈多愈精确,当两个相近的数相减时，会大大的损失有效数字的位数，使得相对误差会变得很大。,3 在近似计算中应注意的几个问题,3.1 做减法要避免两个相近的数相减,解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007 x，y 的有效数字是5位，而x-y的有效数字却只有1位，这样使得有效数字的位数大大的减少了。,例1:已知x=1.5846,y=1.5839,求x-y,例2.已知x=18.496,y=18.493取4位有效数字计算 x-y 的近似值，并估计其相对误差.,而x-y=18.496-18.493=0.003,其相对误差为,解：取x*=18.50，y*=18.49进行计算得x*-y*=18.50-18.49=0.01,可以看到相对误差比较大.,例如，当 x 很大时 和 很接近，直接计算就会大大的损失有效数字，此时应把公式变形，分子、分母同乘一个共轭根式，即,在编程序时，可采取以下措施：,1).对参加运算的量多保留几位有效数字；,2).变换计算公式，,这样求出的结果就比较准确。,又例如，当x1 与x2 很接近时，ln x1-ln x2就可能损失有效数字过多，一般变形为：这样求出的结果就比较准确。,分母的值就变的很小，一般应变形为:,3.2 做除法运算时作分母的量不要太小,例如，计算,时，,会使 的绝对误,差变的很大，一般遇到这种情况把公式,变形,例如,当|x|非常小时，,使用此公式就比较可靠。,若绝对值相差很大的两个数做加，减法运算时绝对值较小的数往往被绝对值较大的数“吃掉”，绝对值较小的值不能发挥作用，影响计算结果的准确性。,3.3 防止大数“吃掉”小数,例 3 求方程x2-(109+1)x+109=0的根(保留8位10进制数)。,解：很容易可以求出此方程的根为x1=109,x2=1,如果用二次方程的求根公式,来编程时就可能得不到正确的结果。,如果我们使用的计算机只能保留小数点后8位，因为在运算前计算机要先把数“规格化”，下面我们看,第一步：把两个数对阶“规格化”,的运算，把两个数按“对阶”规格化后，参加运算的量表示为,第二步：把两个数对阶相加,两数相加：,按4舍5入保留8位,用求根公式可得方程的根：,第三步：用求根公式求方程的解,所以,由此可看出结果的误差太大，原因就是在作加减法运算时要“对阶”，因而小数1被大数109吃掉了。,采取的措施,从上面的计算可以看出x1是可靠的，而x2是不可靠的，我们不能使用求根公式计算x2，我们利用两根间的关系求x2，即,可以看出，用此方法是可靠的。,在编程时，若b0先计算x2，上述方法计算x1。,3.4 要注意计算公式的简化，减少运算次数,简化计算公式很重要，将直接影响计算的速度和误差的积累，有时可以使一个无法实现的计算能够实现。,例计算多项式：,的值。,若直接用上面公式计算，当计算 项时，需要进行k次乘法，因而求出这个多项式的值时需要进行 次乘法和n次加法，当n很大且要反复计算此多项式的值时，工作量将会很大.,但我们若将公式改写为：,改进的措施,则只需要n次乘法和n次加法，即可得到计算结果，可以看出，将公式改写后可大大减少运算次数。,例如：,C函数：double Polynomial(double*a,int n,double x)double p=an;for(int k=n-1;k=0;k-)p=p*x+ak;return p;,在数值计算时，会产生那四种误差，这四种误差的来源是什么；绝对误差和绝对误差限的定义及计算公式；相对误差和相对误差限的定义及计算公式；有效数字的定义，有效数字和绝对误差的关系？有效数字和相对误差的关系？保留3位有效数字与保留小数点以后3位数字的区别。,误差知识部分的自学提纲,作业,习题一1.1,1.2,1.4,1.5,
