《教材分析选修》PPT课件.ppt

高中数学选修2-2第二章,推理与证明,主讲人：魏超PPT制作：李杨,本章是人教A版必修四的第二章，“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用,一、地位与作用,“推理与证明”是新课标新增内容(选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,二、内容说明,推理,推理与证明,合情推理,证明,演绎推理,类比推理,归纳推理,三段论,数学归纳法,分析法,反证法,综合法,直接证明,间接证明,由因导果,猜想,大前提、小前提、结论,验初值、证递推、结论,反设、归谬、定论,执果索因,三、知识网络,四、课时安排,2.1 合情推理与演绎推理 约4课时,2.2 直接证明与间接证明 约4课时,小结与复习 约1课时,2.3 数学归纳法 约2课时,教学目标,【知识与技能】学会合情推理与演绎推理的内容，会用直接证明与间接证明对所求结论进行证明，熟记数学归纳法的一般步骤。【过程与方法】通过具体实例，采用探究与讲练结合法，让同学得出合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明，数学归纳法的内容。【情感态度与价值观】本章学习，有利于发展学生思维能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。,1重点：（1）合情推理、演绎推理的理解。（2）直接证明与间接证明运用。2难点：（1）演绎推理和反证法；（2）对数学归纳法的理解（只限理科）。,本章重点、难点,2.1 合情推理和演绎推理,本节主要内容包括:归纳推理、类比推理和演绎推理.,(1)归纳推理;1课时(2)类比推理；1课时(3)演绎推理;1课时(4)综合练习课.1课时,教学目标,【知识与技能】掌握合情推理与演绎推理的概念，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【过程与方法】通过具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，运用推理理解概念的产生过程，命题的形成过程，思路的获得过程，达到巩固知识，发展创造性思维能力，提高学习兴趣的目的.【情感态度与价值观】通过本节课的学习，学生体会归纳和类比推理的内容美，感受数学的价值所在。,1.教学重点:了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行一些简单推理,2.教学难点:用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题,教学重点、难点,合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式（1）“合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一，2003年颁布的普通高中数学课程标准（实验稿）中，强调在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论的作用，而且在教材中专门设置了合情推理的内容（2）归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思维方法合情推理具有两大功能：一是探索一般结论，二是发现解题思路（3）演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式,教材分析,合情推理,从具体问题出发,观察、分析比较、联想,归纳、类比,提出猜想,1.合情推理定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。,2.分类 归纳推理 合情推理 类比推理,3.合情推理优级点及不足：优:数学中，得到一个新结论之前，合情推理帮助猜测和发现结论；证明一个结论之前，能为我们提供思路和方向。不足:结论求必正确,有待进一步证明.,2.演绎推理的正确性是不可置疑的,数学证明过程中常用到演绎推理.,演绎推理,1.演绎推理定义:把从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是一般到特殊的推理,（1）以选择题、填空题的形式考查合情推理。（2）以选择题或解答题的形式考查演绎推理。（3）题目难度不大，多以中低档题为主。,高考热点,1、要注意结合实际例子，使学生了解合情推理的含义；2、要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；3、要通过数学史事，使学生认识合情推理在数学发现中的作用。,教学建议,2.2 直接证明和间接证明,本节主要内容包括:综合法、分析法和反证法.,本节课的教学可分为4课时:(1)综合法;1课时(2)分析法；1课时(3)反证法;1课时(4)综合练习课.1课时,教学目标,【知识与技能】了解直接证明的方法综合法和分析法；了解间接证明的方法反证法【过程与方法】通过师生互动，让学生掌握三种证明方法。【情感、态度与价值观】培养学生严谨的思维习惯。,1.教学重点:综合法、分析法和反证法的思考过程和特点.,2.教学难点:分析法和反证法的思考过程和特点.,教学重点、难点,（1）综合法的思维特征是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法2）分析法的思维特征是：执果索因即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用（3）反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法反证法证题的步骤可归结为：反设归谬结论,教材分析,1、综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:,综合法推证过程:,由因导果,2、分析法,一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止.这种证明的方法叫做分析法(analytical method).,分析法又叫逆推证法或执果索因法,用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为：,QP1,P1 P2,P2 P3,得到一个明显成立的条件,(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设归谬存真,(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,3、反证法是一种常用的间接证明方法.,(3)适宜使用反证法的情况:结论以否定形式出现；结论以“至多-,”,“至少-”形式出现；唯一性、存在性问题;结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.,正难则反!,（1）本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主。（2）反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。,高考热点,先讲综合法，后讲分析法综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式综合法是学生使用较多、较为熟悉的一种方法分析法虽然在过去也经常使用，但学生在理解上显然不如综合法那样容易。要突破分析法这一教学难点分析法的主要困难有两点：一是学生对这种证明方法的思考过程不理解；二是学生对这种证明方法的表达方式不习惯突破难点的方法有两点：一是结合具体的数学实例，让学生感受分析法证明的可靠性，以及“要证只需证”这种表达的必要性；二是将分析法与综合法对比着进行讲解，帮助学生加深对分析法思考过程及特点的理解,教学建议,2.3 数学归纳法,本节的教学内容只有一个知识点，即数学归纳法.,本节课的教学可分为2课时:(1)数学归纳法;1课时(2)巩固练习课.1课时,教学目标,【知识与技能】1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想（3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。,教学目标,【过程与方法】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一 定正确，初步理解数学归纳法原理。（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。,教学目标,【情感态度与价值观】（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点。（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神。,1教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。2教学难点（1）如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用当n=k+1时假设证明当时结论正确。,教学重点、难点,教材分析,（1）综合法的思维特征是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（2）分析法的思维特征是：执果索因即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用（3）反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法反证法证题的步骤可归结为：反设归谬结论,(归纳奠基)证明当n取第一个值_ 时,命题成立.(归纳递推)假设_ _(kn0,kN*)时命题成立，证明当_ 时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,数学归纳法证题的步骤,递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉,数学归纳法的应用：,（1）恒等式,（3）不等式,（6）三角方面,（2）整除性,（5）几何方面,（4）计算、猜想、证明,对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数 学 命 题,我们常采用数学归纳法来证明它们的正确性:,（1）归纳猜想证明仍是高考重点。（2）与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点。,高考热点,（1）通过递推数列求通项问题，引发学习数学归纳法的欲望，说明探索新的证明方法的必要性（2）分析“多米诺骨牌”全部倒下的原理递推思想（3）给出数学归纳法的基本原理,教学建议,第三章 数系的扩充和复数的引入,3.1 数系的扩充和复数的概念 2课时,3.2 复数代数形式的四则运算 2课时,小结与复习 1课时（演讲者：张鹏飞 制作者：赵殿武）,课 标 内 容,1.在具体情境中了解数系扩充的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.掌握复数的代数形式及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义.,标准与教学大纲的比较,第三章 知识结构,复数的概念,数系的扩充与复数的引入,复数代数形式的四则运算,复数的几何意义,内容与课时安排（约5课时）,3.1 数系的扩充和复数的概念,一、教学目标：知识与技能目标：了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因；理解复数的有关概念以及符号表示；掌握复数的代数表示形式及其有关概念；过程与方法目标：在问题情境中了解数系的扩充过程；体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用；情感、态度及价值观：感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。,3.1 数系的扩充和复数的概念,二、教学重难点重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念难点：复数概念的理解,3.1 数系的扩充和复数的概念,三、教学建议1、回顾学过的自然数集（N)、整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）来考虑是否有更大的数集2、给出一些在实数集上无解的一元二次方程组来让学生考虑该怎么做3、引出虚数单位，之后与学生通过探讨得出一些必要的性质并了解虚数的几何意义,3.2 复数代数形式的四则运算,一、教学目标：知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的四则运算法则；过程与方法目标：理解并掌握四则运算的实质；利用运算法则解决大部分问题；情感、态度价值观目标：感受数系扩充后的美感；学会在新扩充数系中的计算。,3.2 复数代数形式的四则运算,二、教学重难点重点：掌握共轭复数与复数的四则运算及加减法的几何意义难点：复数减法的运算法则及除法的计算,3.2 复数代数形式的四则运算,三、教学建议1、可通过概念学习中虚数的几何意义来讲解复数代数形式的四则运算2、之后通过练习一部分题让学生们巩固提高,*本章易错点*,1、共轭复数的计算2、|X|指的是X的模而不是绝对值3、复数的四则运算4、纯、非纯虚数的判断,*高考复数题型分析*,复数为高考必出题，题型为单选题，分值5分；复数难点在于共轭复数、纯虚数、分式复数、相等复数的求解上，通常会是以复合的形式出现，所以在做题时一定要注意各方面的易错点。*示例题型*,谢谢！,