《振动与波动》PPT课件.ppt

第8章 振动与波动,惠更斯：(ChristianHaygen，16291695)荷兰物理学家、数学家、天文学家。他建立了光的波动学说，提出了惠更斯原理。主要著作有1690年出版的论光，共有22卷。,一、简谐振动的振动方程,弹簧振子：弹簧物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计,物体可看作质点,简谐振动微分方程,8.1简谐振动,单摆,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：,摆球对C点的力矩,其通解为：,简谐振动的运动学方程,简谐振动的微分方程,简谐振动的运动学方程或叫振动方程,速度方程,加速度方程,简谐振动的特征量,振幅 A:,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,频率：,角频率:,周期T：,物体完成一次全振动所需时间。,单位时间内振动的次数。,对弹簧振子,单摆,固有周期、固有频率、固有角频率,是t=0时刻的相位初相位,相位和相位差,相位 决定谐振动物体的运动状态,同相和反相(同频率振动),当=2k 两振动步调相同,称同相。,当=(2k+1)两振动步调相反,称反相。,同相,反相,超前和落后,若=2-1 0,则 称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后)。,由初始条件求振幅和初相位,例,已知A=0.12m，T=2s，,一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。,求,(1)初相；(2)t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x=-0.06m处，且向x轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。,解,设其运动方程为则速度和加速度分别为,则速度和加速度分别为,当t=0时，,当t=0.5s时,（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则,如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm，t=0时，x0=9.8cm,v0=0,确定平衡位置 mg=k l 取为原点令向下有位移 x,则回复力,例,求,取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取x0=0，v00为计时零点,写出振动方程,并计算振动频率。,解,作谐振动 设其方程为,由初条件得,由x0=0.098m,振动方程为：,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,对同一谐振动计时起点不同,不同，但、A不变,固有频率,二、简谐振动的旋转矢量表示法,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,由图可见：,o,超前,超前,已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示.,方法1:设振动方程为,例,求,其振动方程。,解,或,故振动方程为,方法2：用旋转矢量法辅助求解。,或,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,例,由图可知,求,一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。,（2）在x=-0.06m处，且向x轴负向方向运动时，物体从这一位置回到平衡位置所需的最短时间,（1）初相；,由图可知,(1)图,解,(2)图,以弹簧振子为例,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,三、简谐振动的能量,机械能,（简谐振动系统机械能守恒）,由起始能量求振幅,四、简谐振动的合成,同方向同频率简谐振动的合成,分振动:,合振动:,结论：合振动 x 仍是简谐振动,合振动是简谐振动,其频率仍为,合振动:,旋转矢量法,若 A1=A2,则 A=0,讨论,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动加强,合振动减弱,合振动不是简谐振动,式中,随t 缓变,随t 快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,同方向不同频率简谐振动的合成,分振动,合振动,当21时,拍:合振动忽强忽弱的现象,拍频:单位时间内强弱变化的次数=|2-1|,消去参数t得合振动的轨迹方程,分振动,互相垂直的简谐振动的合成,同频率简谐振动的合成,讨论,当,质点离开平衡位置的位移,质点离开平衡位置的位移,当,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,当,当,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,李萨如图形,不同频率的简谐振动的合成,8.2 相平面 相空间,一、广义坐标 广义速度,在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x，y，z，vx，vy，vz）描述，,一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。,二、相平面 相空间,以(qi，pi)为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.,相空间:,当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。,相平面:,相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。,以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。,如某质点作直线运动，其坐标为x、速度,为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面,以（x，y）,相平面中的一个点M（x,y），对应一个运动状态，M 称为相点。,在相平面中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条光滑的曲线。,相点,相轨迹,以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。,简谐振子的位移、速度和加速度分别为,常数C由初始条件决定。,以x和y为轴，可建立相平面Oxy。,简谐振子的相图,研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线相轨迹。,对于一定的C值，相轨迹是一个椭圆，如图所示。,从位移、速度公式中消去时间t，得,按C值的不同，可得到一族大小不同的椭圆。,从相轨迹中，可以看出,简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态,因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动，其周期是一个有限值。,在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。,三、奇点,相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平衡点。,奇点的分类,中心,焦点,结点,鞍点,8.3 非线性振动,一、非线性振动系统,由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。,下面以单摆做自由振动为例进行分析,单摆的线性振动,将sin按泰勒级数展开可得,单摆,很小时，3以上可忽略不计，同时令2=g/L可得,由上式可知，小角度下单摆的运动是简谐振动，其周期为,单摆的非线性振动,随着的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程。,可以证明单摆的周期变为,式中m是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。,当 时，T，T/T随摆幅m变化关系如图所示。,可见单摆的周期是一个向无穷大发展的非线性变化。,两边积分得,单摆线性振动的相图,即,T/T随摆幅m变化关系,可见，线性振动的相轨迹为椭圆,中心点是稳定的奇点.,初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。,单摆非线性振动的相图,如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方程两边积分可得,单摆无阻尼线性振动的相图,当t=0时，=0,可见，其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，表示运动仍是周期性往复摆动。,当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为鞍点,如上图.,单摆无阻尼非线性振动的相图,鞍点和中心点一样也是一个奇点，但是在鞍点上,说明鞍点是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状,从势能曲线和相图上可知,处势能最大，,势能曲线、相图、鞍点,双曲点的存在，预示着混沌运动的可能,假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。,二、非线性振动系统的混沌行为,仍以单摆为例,前面已经讨论过它的自由振动,下面分析其阻尼振动和受迫振动,有阻尼、无策动力的振动,小摆幅时运动方程为,小摆幅时,按阻尼的大小其运动状态可分为过阻尼、临界阻尼、和阻尼振动.从相图可知,无论单摆从什么初始状态出发,最后都要静下来.其状态最终要落到中央焦点处,这一点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来,称为“吸引子”,单摆阻尼振动的相图(小摆幅),有阻尼、并有策动力的振动,大摆幅时运动方程是非线性的,单摆阻尼振动的相图(大摆幅),此时,从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心的吸引子.,振动方程为,这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分析.,有策动力、有阻尼时单摆的相图,保持其他两个参量不变,f 逐渐增加时,单摆的相图会产生如下变化:,f=1.07,出现2倍的周期,f 变化两个周期后单摆才恢复原状;,f=1.15,相轨迹分布看似没有规律,反映了某种内在的结构特征;,f=1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;,f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布,恢复单倍周期状态,但此时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;,f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转;,f=1.50,又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.,由此可见,在受迫阻尼振动中,单摆的运动反映出如下特征:,描述运动特征的动力学方程是非线性的;,这些非线性方程是确定性的,不包含任何随时间变化的 随机项;,在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对初始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果.这就是单摆的混沌行为.,系统出现的一种貌似随机的运动。,混沌:,一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条件下用计算机进行数值计算。,混沌现象具有如下特征:,对初值敏感依赖最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。,运动不可重现,不可预报;,相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子”;,混沌现象,研究表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是非线性的，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象。,自70年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。,混沌不仅是数理学科的理论,而是遍布各个领域.如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫口模型”等等,比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；,这说明，混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有着本质区别。,总之，混沌的随机性是一种内在的随机性，它将使我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。,混沌并不是完全无序，而是无序中隐含着有序；,条件,8.4 波动方程,一、机械波的产生,二、横波和纵波,介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。,介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。,波源：作机械振动的物体,横波：,纵波：,机械波:,机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。,弹性介质：承担传播振动的物质,波的传播方向,特点：具有波峰和波谷,横波,质点的振动方向,纵波,波的传播方向,质点振动方向,特点：具有疏密相间的区域,下面以横波为例观察波的形成过程,静止,振动状态传至4,振动状态传至7,振动状态传至10,振动状态 传至13,结论,(1)波动中各质点并不随波前进；,(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；,(3)波动曲线与振动曲线不同。,波面和波线,在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。,波面:,沿波的传播方向作的有方向的线。,柱面波,在各向同性均匀介质中，波线波面。,波线:,波前:,在某一时刻，波传播到的最前面的波面。,注意,x,y,z,波面,波线,球面波,波面,波线,波面,波线,平面波,同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反映了波的空间周期性。,三、波长 周期 频率和波速,波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。,单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为,振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为,(1)波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。,纵波的波速为：,(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。,说明,固体既可以传播纵波也可以传播横波,液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出,固体媒质中传播的横波速率由下式给出：,稀薄大气中的纵波波速为,三、简谐波的波动方程,波面为平面的简谐波,介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。,本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。,平面简谐波,平面简谐波,说明,简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。,简谐波:,y,x,x,P,O,简谐振动,从时间看,P 点 t 时刻的位移是O 点,简谐振动,平面简谐波的波函数,时刻的位移;,从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后,若,P 为任意点,其它形式,由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动的相位差为,x2x1,0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质点的振动；,讨论,u 实际上是振动相位的传播速度。,t1 时刻x1 处的振动状态经t 时间传播到x1+x 处，则,可得到,若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程:,其 它 形 式,如图，,在下列情况下试求波动方程：,(3)若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？,例,(1)以 A 为原点；,(2)以 B 为原点；,B,A,已知A 点的振动方程为：,(1)在 x 轴上任取一点P，A点 振动方程为：,波函数为：,解,P,(2)B 点振动方程为：,(3)以 A 为原点：,以 B 为原点：,波动方程:,表示在t1 时刻的波形,t 与 x 都发生变化,表示x1处质点的振动方程,波动方程的物理意义,x=x1（常数）,t=t1（常数）,表示介质中任何质点在任意时刻的位移,已知t1时刻的波形图（紫色），要确定t=t1+t时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移ut的距离即可（红色）,t=t1时,t=t1+t时,可以证明三维的波动方程为：,其中为质点的位移,从上两式可得波动方程：,波动方程的一般形式,波速 u=400m/s,t=0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。,设波动方程为,t=0 s时刻yo=2m，vo0，所以,O点处的质点的位移及速度,例,解,同理，对于P点有,t=0 s时刻yP=0，vP0，所以,波动方程为,沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。,t=2s,由图知,t=0原点0:,例,解,一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为,(1)a.比较法(与标准形式比较）,标准形式,波函数为,比较可得,例,解,求,(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。,振幅,波长,周期,波速,(2),b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）,8.5 波的干涉和衍射,一、惠更斯原理,R1,R2,S1,S2,O,惠更斯提出：,波前上任意一点都 可看作是新的子波源；所有子波源各自向外发出许多子波；各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。,已知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；,惠更斯原理解释衍射现象,二、叠加原理,波传播的独立性,叠加原理,当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。,在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动。,v1,v2,注意,波的叠加原理仅适用于线性波的问题,根据叠加原理可知，P 点处振动方程为,S1,S2,合振动的振幅,P,P,P 点处波的强度,三、波的干涉,相干条件:,频率相同、振动方向相同、相位差恒定。,相位差,当,干涉相长,当,干涉相消,空间点振动的情况分析,讨论,干涉相长,若,若,干涉相消,干涉相长,干涉相消,从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。,A、B 为两相干波源，距离为 30 m，振幅相同，相同，初相差为,u=400 m/s,f=100 Hz。,例,A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。,求,解,B,A,30m,（P 在A 左侧）,（P 在B 右侧）,(即在两侧干涉相长，不会出现静止点),r1,r2,P 在A、B 中间,干涉相消,(在 A，B 之间距离A 点为 r1=1,3,5,29 m 处出现静止点),8.5 声波 超声波,一、声波,声波是机械波的一种。在弹性介质中传播的纵波，其频率约在20到20000Hz范围内，能引起人的听觉，这种波叫作声波。频率低于20Hz的叫次声波，高于20000Hz的叫超声波。,超声波具有波动的一般特性，也能产生反射、折射、干涉和衍射等现象。,气体中的声速,为气体定压摩尔热容与定容摩尔热容之比，P为气体的压强,。,为气体的密度,如在标准状态下，空气中的声速为,例,试求摩尔质量为m、温度为T 的理想气体中的声速。,解,可见在同一温度下，声波在液体和固体中的传播速度要比在气体中大得多,声压,介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间有一差值，这一压强差称为声压。,声压的成因很明显，由于声波是疏密波，在稀疏区域，实际压强小于原来静压强，在稠密区域，实际压强大于原来静压强。,显然，由于介质中各点声振动作周期性变化，声压也在作周期性变化。前者声压为负值，后者声压为正值。,对平面简谐波来说，可以证明声压振幅为,声强 声强级,单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量，叫声波的能流密度或声强。,可以证明，声强公式为,超声波的频率高，因而它的声强就很大。,爆炸声、炮声等声波由于振幅大、声强也可以很大。,即声强与频率的平方、振幅的平方成正比，其单位是,能够引起人听觉的声强范围大约为10-12Wm-21Wm-2。此范围很大。,通常规定声强I010-12Wm-2(即相当于频率为1000Hz的声波能够引起听觉的最弱的声强)为测定声强的标准。如果某一声波的声强为I，则比值I/I0的对数，叫作相应于声强I 的声强级L,声强级,L的单位为贝耳(B)。,B这一单位太大，实际应用时通常采用贝耳的1/10，即分贝(dB)为单位，,在声学中常用声强级来描述声波在介质中各点的强弱。,一些常遇到的声音的声强 声强级和响度,二、超声波,一般在气体中使用的超声波频率可达106Hz，在固体和液体中使用的超声波频率可达109Hz，利用共振现象可以增大其振幅，得到很强的功率。,超声波的波长很短，一般为10-610-4m.波长越短，衍射现象越不显著，所以超声波易于定向；它在反射、折射及聚焦等方面与光波相似，从而可以得到高能量、方向性良好的超声波束。,在空气中超声波阻尼很大，但在液体、固体中阻尼很小。特别在导体性溶液(如海水)中，这些特性，在实践中得到广泛应用。,超声检测技术,利用超声波的定向发射性质,可以探测水中的物体,如探测鱼群、潜艇等,也可以测量海水的深度,研究海底的地形起伏,发现海礁和浅滩.,在工业上,超声波可以探测工件内部的缺陷(如气泡、裂缝、砂眼等),超声波与捕鱼,如试验研究发现，鱼在觅食时可发出一定的特征声谱。当人工模仿或直接播放鱼在觅食时发出的特征声谱时，即使不投放诱饵也可引诱大量的鱼群，大大有利于捕捞。,超声波在食品加工及医学上的应用,由于超声波的破坏作用，能使微生物和病毒死亡。因此，在制备水果罐头牛奶、饮水、血清、培养苗、疫苗等时，均可使用超声波消毒。,利用超声波的乳化、凝结和扩散作用可以将某些不溶于水的药物制成水溶液或针剂。,超声波扫描仪用于动物疾病的诊断，以及利用超声波的热效应治疗动物的一些疾病等。,超声波对肌肉的温热作用可解除张力，发生普遍的充血现象，软化疤痕及改善循环等效果。,超声波对植物的作用,用一定的强度和频率的超声波处理大麦，结果发现其发芽的平均时间缩短，萌发的机能也增长了。,用超声波处理种在某种程度上加快了种子的萌发，并且可以打破有些种子的休眠期，,在中草药种植方面效果尤为显著。这是因为种子由于超声波能量的影响，从而加强了种子细胞中的氧化过程。,