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第二章投影基本知识,第一节投影的形成与分类 第二节三面正投影 第三节点、直线、平面的投影 第四节基本形体的投影,第一节投影的形成与分类,一、投影的形成 在日常生活中，人们发现只要有物体、光线和承受落影面，就会在附近的墙面、地面上留下物体的影子，这就是自然界的投影现象。从这一现象中，人们能认识到光线、物体、影子之间的关系，归纳出表达物体形状、大小的投影原理和作图方法。自然界的物体投影与工程制图上反映的投影是有区别的，前者一般是外部轮廓线较清晰而内部却一片混沌，后者不仅要求外部轮廓线清晰，同时还能反映内部轮廓及形状，这样才能符合清晰表达工程物体形状大小的要求。所以，要形成工程制图所要求的投影，应有三个假设:一是光线能够穿透物体，二是光线在穿透物体的同时能够反映其内部、外部的轮廓(看不见的轮廓用虚线表示)，三是对形成投影的光线的射向作相应的选择，以得到不同的投影。,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,在制图上，把发出光线的光源称为投影中心，光线称为投影线。光线的射向称为投影方向，将落影的平面称为投影面。构成影子的内外轮廓称为投影。用投影表达物体的形状和大小的方法称为投影法，用投影法画出物体的图形称为投影图。习惯上也将投影物体称为形体。制图上投影图的形成如图2-1所示。二、投影的分类 根据投影中心距离投影面远近的不同，投影分为中心投影和平行投影两类。(一)中心投影 中心投影即在有限的距离内，由投影中心S发射出的投影线所产生的投影，如图2-2所示。其特点是:投影线相交于一点，投影图的大小与投影中心S距离投影面远近有关，在投影中心S与投影面P距离不变的情况下，物体离投影中心S越近，投影图愈大，反之则愈小。,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,用中心投影法绘制物体的投影图称为透视图，图2-3所示即为物体的透视图。其直观性很强、形象逼真，常用作建筑方案设计图和效果图。但绘制比较繁琐，而且建筑物等的真实形状和大小不能直接在图中度量，不能作为施工图用。(二)平行投影 如果投影中心S离投影面无限远，则投影线可视为相互平行的直线，由此产生的投影，则称为平行投影。其特点是:投影线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心的远近无关。根据互相平行的投影线与投影是否垂直，平行投影又分为斜投影和正投影。1.正投影 如投影线与投影面相互垂直，而由此所作出的平行投影称为正投影，也称为直角投影，如图2-4(a)所示。采用正投影法，在三个互相垂直相交且平行于物体主要侧面的投影面上所作出的物体投影图，称为正投影图，如图2-5所示。该投影图能够较为真实地反映出物体的形状和大小，即度量性好，多用于绘制工程设计图和施工图。,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,2.斜投影 投影线斜交投影面，所作出物体的平行投影，称为斜投影，如图2-4(b)所示。用斜投影法可绘制斜轴测图，如图2-6所示。投影图有一定的立体感，作图简单，但不能准确地反映物体的形状，视觉上变形和失真，只能作为工程的辅助图样。三、平面投影的特性平面投影的特性有:平行性、定比性、度量性、类似性、积聚性等，如图2-7所示。1.平行性 空间两直线平行(AB/CD)，则其在同一投影面上的投影仍然平行(ab/cd)，如图2-7(a)所示。通过两平行直线AB和CD的投影线所形成的平面ABba和CDdc平行，而两平面与同一投影面P的交线平行，即ab/cd。,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,2.定比性 点分线段为一定比例，点的投影分线段的投影为相同的比例，如图2-7(b)所示，AC:CB=ac:cb。3.度量性 线段或平面图形平行于投影面，则在该投影面上反映线段的实长或平面图形的实形，如图2-7(c)所示，AB=ab,。也就是该线段的实长或平面图形的实形，可直接从平行投影中确定和度量。4.类似性 线段或平面图形不平行于投影面，其投影仍是线段或平面图形，但不反映线段的实长或平面图形的实形，其形状与空间图形相似。这种性质为类似性，如图2-7(d)所示，abAB，。5.积聚性,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,直线或平面图形平行于投影线(正投影则垂直于投影面)时，其投影积聚为一点或一直线，如图2-7(e)所示，该投影称为积聚投影，这种特性称为积聚性。四、工程中常用的投影图 为了清楚地表示不同的工程对象，满足工程建设的需要，工程中常用的投影图有四种:透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图。1.透视投影图 四、工程中常用的投影图 为了清楚地表示不同的工程对象，满足工程建设的需要，工程中常用的投影图有四种:透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图。1.透视投影图,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,运用中心投影的原理绘制的具有逼真立体感的单面投影图称为透视投影图，简称透视图。它具有真实、直观、有空间感且符合人们视觉习惯的特点，但绘制较复杂，形体的尺寸不能在投影图中度量和标注，不能作为施工的依据。仅用于建筑及室内设计等方案的比较以及美术、广告等，如图2-8所示。2.轴测投影图 图2-9所示的是物体的轴测投影图，它是运用平行投影的原理在一个投影图上做出的具有较强立体感的单面投影图。其特点是作图较透视图简单，相互平行的线可平行画出，但立体感稍差，常作为辅助图样。,上一页,下一页,返回,第一节投影的形成与分类,3.正投影图 运用正投影法使形体在相互垂直的多个投影面上得到的投影，然后按规则展开在一个平面上所得到的图为正投影图，如图2-10所示。其特点是作图较以上各图简单，便于度量和标注尺寸，形体的平面平行于投影面时能够反映其实形，所以在工程上应用最多。但缺点是无立体感，需多个正投影图结合起来分析想象，才能得出立体形象。4.标高投影图 标高投影是标有高度数值的水平正投影图。在建筑工程中常用于表示地面的起伏变化、地形、地貌。作图时，用一组上下等距的水平剖切平面剖切地面，其交线反映在投影图上称为等高线。将不同高度的等高线自上而下投影在水平投影面上时，便可得到等高线图，称为标高投影图，如图2-11所示。,上一页,返回,第二节三面正投影,对于普通平面体来说，共有8个平面，2个正平面，3个水平面，3个侧平面。为了正确反映形体的形状、大小和空间位置情况，通常需用三个互相垂直的投影图来反映其投影。一、投影面的设置 将物体放在三个相互垂直的投影面之间，用三组分别垂直于三个投影面的平行投射线投影，就能得到这个物体的三个方面的正投影图，如图2-12所示。一般物体用三个正投影图结合起来就能反映它的全部形状和大小。由这三个投影面组成的投影面体系，称为三投影面体系。其中，处于水平位置的投影面称为水平投影面，用H表示，在H面上产生的投影叫做水平投影图;处于正立位置的投影面称为正立投影面，用V表示，在V面上产生的投影叫做正立投影图;处于侧立位置的投影面称为侧立投影面，用W表示，在W面上产生的投影叫做侧立投影图。三个互相垂直相交投影面的交线，则称为投影轴分别是OX轴、OY轴、OZ轴，三个投影轴OX,OY,OZ相交于一点O，称为原点。,下一页,返回,第二节三面正投影,二、三个投影面的形成 将某长方体放置于三投影面体系中，使长方体上、下面平行于H面，前、后面平行于V面，左、右面平行于W面，再用正投影法将长方体向H面、V面、W面投影，在三组不同方向平行投影线的照射下，即可得到长方体的三个投影图，如图2-12所示。长方体在水平投影面的投影为一矩形，称为长方体的水平投影图。它是长方体上、下面投影的重合，矩形的四条边则是长方体前、后面和左、右面投影的积聚。由于上、下面平行于H面，所以，它又反映了长方体上、下面的真实形状以及长方体的长度和宽度，但是它反映不出长方体的高度。长方体在正立投影面的投影也为一矩形，称为长方体的正面投影图。它即是长方体前、后面投影的重合，由于前、后面平行于V面，所以它又反映了长方体前、后面的真实形状以及长方体的长度和高度，但是它反映不出长方体的宽度。,上一页,下一页,返回,第二节三面正投影,长方体在侧立投影面的投影为一矩形，称为长方体的侧面投影图。矩形是长方体左、右面投影的重合，由于长方体左、右面平行于W面，故能较好地反映出长方体左、右面的真实形状以及长方体的宽度和高度。由此可见，根据物体在相互垂直的投影面上的投影，可以较完整地得出物体的上面、正面和侧面的形状。三、三个投影面的展开(一)投影图的展开规则 图2-12所示的是长方体的正投影图形成的立体图。为了使三个投影图绘制在同一平面图纸上，需将三个垂直相交的投影面展平到同一平面上。其展开规则如下:V面不动，H面绕OX轴向下旋转90o;W面绕OZ面向后旋转90o，使它们与V面展开在同一平面上，如图2-12所示。这时Y轴分为两条:一根随H面旋转到OZ轴的正下方与OZ轴在同一直线上，用YH表示;一根随W面旋转到OX轴的正右方与OX轴在同一直线上，用YW表示，如图2-13(a)所示。,上一页,下一页,返回,第二节三面正投影,H、V,W面的位置是固定的，投影面的大小与投影图无关。在实际绘图时，不必画出投影面的边枢，也不必注明H、V,W字样;待到对投影知识熟知后，投影轴OX、OY,OZ也不必画出，如图2-13(b)所示。(二)三面正投影图的三等关系 在三面正投影图展开过程中，必须注意物体投影的“三等关系”，即:(1)长对正。在三面正投影图中，物体左右两侧间的距离称为长度。在X轴方向上，水平投影图和正投影图必须反映出物体的长度，它们的位置左右应对正。(2)高平齐。三面正投影图中，上下两面之间的距离称为高度。在Z轴方向上，物体的高度是通过正面投影图和侧面投影图反映出来的，这两个高度的位置应上下对齐。(3)宽相等。三面正投影图中，前后两面之间的距离称为宽度。在Y轴方向上，物体的宽度是通过水平投影图和侧面投影图反映出来的，这两个宽度一定要相等。,上一页,下一页,返回,第二节三面正投影,(三)三面投影图上反映的方位 任何物体都有前、后、左、右、上、下六个方位，其三面正投影体系及其展开如图2-14所示。从图中我们可以看出:三个投影图分别表示它的三个侧面。这三个投影图之间既有区别又互相联系，每个投影图都相应反映出其中的四个方位，如H面投影仅反映出形体左、右、前、后四个面的方位关系。需要特别注意的是，形体前方位于H投影的下侧，如图2-15所示，这是由于H面向下旋转、展开的缘故。同一物体的三个投影图之间具有“三等”关系，即:正立投影与侧投影等高，正立投影与水平投影等长，水平投影与侧立投影等宽。在这三个投影图中，每个投影图都只反映物体两个方向的关系，如正立投影图仅反映物体的左、右和上、下关系，水平投影图反映物体的前、后和左、右关系，而侧投影图只反映物体的上、下和前、后关系。识别形体的方位关系，对于读图是很有帮助的。,上一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,用三面正投影表示一个物体是各种工程图常用的表现手法。众所周知，建筑形体大多是由多个平面组成，各平面相交于多条棱线，各棱线又相交于多个顶点，因此研究空间点、线、面的投影规律是绘制建筑工程图样的基础。一、点的投影 点虽在任何投影面上的投影均是点，但它是绘线、面、体投影的基础，学习物体在三面正投影体系中的投影，必须从点投影人手。(一)点的三面投影 点A在三面投影体系中的投影如图2-16所示。过点A分别向H面、V面和W面作投影线，投影线与投影面的交点a,a,a，就是点A的三面投影图。点A在H面上的投影a，称为点A的水平投影;点A在V面上的投影a，称为点A的正面投影;点A在W面上的投影a，称为点A的侧面投影。,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,(二)点投影的标记 根据制图规定，在三面投影图中空间点应用大写拉丁字母，如A,B,C表示;投影点则用同名小写字母，如a,b、c.表示。为了使各投影点号之间有所区别，在H面的投影用相应的小写字母表示，在V面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示，在W面的投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。如点A的三面投影分别用a,a,a表示。制图时，点的投影用小圆圈画出(直径小于1 mm);点号写在投影点的近旁，并标在所属的投影面积区域中，如图2-16所示。(三)点的投影规律 图2-16为空间点A在三面投影体系中的投影，即过A点向H、V,W面作垂线(称为投影连系线)，所交之点a,a,a就是空间点A在三个投影面上的投影。从图中可以看出，由投影线Aa,Aa构成的平面P(Aaaxa)与OX轴相交于ax，,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,因，即P、V,H三面互相垂直，由立体几何知识可知，此三平面两两的交线互相垂直，即，故P为矩形。当H面旋转至与V面重合时aX不动，且 的关系不变，则a,ax,a三点共线，即。同理，可得到。从中可以得出：反映A点到H面的距离;反映A点到V面的距离;反映A点到W面的距离。从上面分析中，可以得出点在三面投影体系中的投影规律(1)点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴，即(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即(3)点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，即ax/aaz。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,以上三条投影规律，就是被称为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系。它也说明，在点的三面投影图中，每两个投影都有一定的联系性。只要给出点的任何两面投影，就可以求出第三个投影。(四)点的空间位置及坐标 1.点的空间位置 点在空间的位置大致有四种，即点悬空、点在投影面上、点在投影轴上、点在投影原点处。点处于悬空状态，如图2-16(a)所示，点处于投影面上、投影轴上、投影原点上，如图2-18所示。2.点的坐标 研究点的坐标，也就是研究点与投影面的相对位置。在H、V,W投影体系中，常将H、V,W投影面看成坐标面，而三条投影轴则相当于三条坐标轴OX,OY,OZ，三轴的交点为坐标原点，如图2-16所示。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,空间点到三个投影面的距离就等于它各方向坐标值，也就是点A到W面、V面和H面的距离Aa,Aa和Aa分别称为x坐标、y坐标和z坐标。空间点的位置可用A(x，y,z)形式表示，所以A点的水平投影a的坐标是(x，y，0);正面投影的a的坐标是(x，o，z);侧面投影了的坐标是(0，y，z)。在图2-16(a)中，四边形Aaaxa是矩形，Aa等于a ax，即aax反映点A到H面的距离;Aa等于aax,即ax反映点A到V面的距离。由此可知:Aa=aayH=aaz=Oax(点A的x坐标)Aa=aax=aaz=Oay(点A的y坐标)Aa=aax=aayw=Oaz(点A的z坐标)空间点的位置不仅可以用其投影确定，也可以由它的坐标确定。若已知点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标;反之，已知点的坐标，也可以作出该点的三面投影。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,二、直线的投影直线是点沿着某一方向运动的轨迹。当已知直线两个端点的投影时，连接两个端点的投影即可得直线的投影。直线与投影面之间按相对位置的不同可分为一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种，后两种直线称为特殊位置直线。(一)一般位置直线 三个投影面均倾斜的直线称为一般位置直线，亦称倾斜线，如图2-20(a)所示。一般位置直线倾斜于三个投影面，三个投影面均有倾斜角，我们称之为直线对投影面的倾角，分别用 表示。其投影特性为:(1)直线的三个投影都是倾斜于投影轴的斜线，但长度缩短，不反映实际长度。(2)各个投影与投影轴的夹角不反映空间直线对投影面的倾角。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,(二)投影面平行线 投影面平行线是只平行于某一个投影面，而倾斜于其他两个投影面的直线。它有水平线、正平线和侧平线三种状态，见表2-1.(1)水平线是平行于水平投影面的直线，即与H面平行但与V面、W面倾斜的直线。(2)正平线是平行于正立投影面的直线，即与V面平行但与H面、W面倾斜的直线。(3)侧平线是平行于侧立投影面的直线，即与W面平行但与H面、V面倾斜的直线。投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应投影轴的夹角，反映直线与其他两个投影面的倾角;直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但不反映实长。在各投影面的投影特性见表2-1。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,在投影图上，如果有一个投影平行于投影轴，而另有一个投影倾斜。那么，这个空间直线一定是投影面的平行线。(三)投影面垂直线 投影面垂直线是垂直于某一投影面，同时，也平行于另外两个投影面的直线。投影面垂直线可分为投垂线、正垂线和侧垂线，见表2-2。(1)投垂线是垂直于水平投影面的直线，即只垂直于H面同时平行于V面、W面的直线。(2)正垂线是垂直于正立投影面的直线，即只垂直于V面同时平行于H面、W面的直线。(3)侧垂线是垂直于侧立投影面的直线，即只垂直于W面同时平行于V面、H面的直线。投影面垂直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点;直线在另两个投影面上的投影反映实长且垂直于相应的投影轴。其投影特性见表2-2。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,在投影面上，只要有一条直线的投影积聚为一点，那么，它一定为投影面的垂直线，并垂直于积聚投影所在的投影面。(四)直线投影的识读 识读直线投影图，首先要判别出直线在空间的位置。判别直线在空间的位置，应根据直线在三面投影图中的特性来确定，如投影图中，有一个投影平行于投影轴，而另一个投影倾斜，那么，这一空间直线一定为投影面的平行线。如判别图2-21所示三面投影图中直线AB,CD,EF的空间位置。判别方法如下:(1)直线AB的三个投影都呈倾斜，故它为投影面的一般位置线;(2)直线CD在H面和W面上的投影分别平行于OX和OZ，而在V面上的投影呈倾斜，故它为V面的平行线(即正平线);,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,(3)直线EF在H面上的投影积聚成一点，在V面和W面上的投影分别垂直于OX和OYW，故它为H面的垂直线(即投垂线)。三、平面的投影 平面是直线沿某一方向运动的轨迹。要作出平面的投影，只要作出构成平面形轮廓的若干点与线的投影，然后连成平面图形即得。平面与投影面之间按相对位置的不同可分为:一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面，后两种统称为特殊位置平面。(一)一般位置平面 与三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面，亦称倾斜面，如图2-22所示。从中可以看出，一般位置平面的各个投影均为原平面图形的类似形，且比原平面图形本身的实形小。它的任何一个投影，既不反映平面的实形，也无积聚性。(二)投影面垂直面 投影面垂直面是垂直于某一投影面的平面，对其余两个投影面倾斜。投影面垂直面可分为投垂面、正垂面和侧垂面。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,(1)幼投垂面是垂直于水平投影面的平面，即垂直于H面，倾斜于V,W面的平面。(2)正垂面是垂直于正立投影面的平面，即垂直于V面，倾斜于H、W面的平面。(3)侧垂面是垂直于侧立投影面的平面，即垂直于W面，倾斜于H,V面的平面。投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜直线，它与相应投影轴的夹角反映该平面对其他两个投影面的倾角;在另两个投影面上的投影反映该平面的类似形且小于实形，其投影特性见表2-3。一个平面只要有一个投影积聚为一倾斜线，那么，这个平面一定垂直于积聚投影所在的投影面。(三)投影面平行面 投影面平行面是平行于某一投影面的平面，同时也垂直于另外两个投影面。投影面平行面可分为水平面、正平面和侧平面。,上一页,下一页,返回,第三节点、直线、平面的投影,(1)水平面是平行于水平投影面的平面，即与H面平行同时垂直于V面、W面的平面。(2)正平面是平行于正立投影面的平面，即平行于V面同时垂直于H面、W面的平面。(3)侧平面是平行于侧立投影面的平面，即平行于W面同时垂直于V面、H面的平面。投影面平行面在它所平行的投影面的投影反映实形，在其他两个投影面上投影积聚为直线，且与相应的投影轴平行。其投影特性见表2-4。一个平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线，那么该平面就平行于非积聚投影所在的投影面，并且反映实形。(四)平面投影的识读与作图 下面通过几道例题来了解平面投影的识读与作图。,上一页,返回,第四节基本形体的投影,形状各异的建筑形体都可以看作是由一些简单的几何体组成。研究基本形体的投影，实质上就是研究基本形体表面上的点、线、面的投影。为了研究方便，根据其表面的形状不同，把基本形体分为平面体和曲面体两种。一、建筑形体的组成 建筑形体都是具有三维坐标的实体，任何复杂的实体都可以看成是由一些简单的基本形体组合而成。因此研究建筑形体的投影，首先要研究组成建筑形体的那些基本形体的投影。常见的基本形体中，平面体有棱柱、棱锥、棱台等，曲面体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等。如图2-26所示的柱和基础是由圆柱体、四棱台和四棱柱组成，而图中的台阶是由两个四棱柱和侧面的五棱柱组成。二、平面体的投影 基本形体的表面是由平面围成的形体称为平面体，也称平面几何体。,下一页,返回,第四节基本形体的投影,在建筑工程中，多数构配件是由平面几何体构成的。根据各棱体中各棱线之间的相互关系，可以分为棱柱体和棱锥体两种。棱柱体是各棱线相互平行的几何体，如正方体、长方体、棱柱体;棱锥体是各棱线或其延长线交于一点的几何体，如三棱锥、四棱台等。(一)长方体的投影 长方体是由前、后、左、右、上、下六个平面构成的，且相互垂直。对于其投影图，只要按照投影规律画出各个表面的投影，即可得到长方体的投影图。图2-27所示为某长方体的三面投影图。根据长方体在三面投影体系中的位置，底面、顶面平行于H面，则在H面的投影反映实形，并且相互重合。前后面、左右面垂直于H面，其投影积聚成为直线，构成长方形的各条边。由于前后面平行于V面，在V面的投影反映实形，并且重合。左右面由于左右侧面平行于W面，在W面的投影反映实形，并且相互重合。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,而前后面、顶面、底面与W面垂直，其投影积聚成为直线，构成W面四边形各边。从长方体的三面投影图上可以看出:正面投影反映长方体长度五和高度H，水平投影反映长方体的长度五和宽度B，侧面反映棱柱体的宽度B和高度H。完全符合前面介绍的三面投影图的投影特性。(二)棱柱体的投影 棱柱体是指由两个互相平行的多边形平面，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的平面围成的形体。这两个互相平行的平面称为棱柱的底面，其余各平面称为棱柱的侧面，侧面的公共边称为棱柱的侧棱。常见的棱柱体有三棱柱、五棱柱、六棱柱等。1.三棱柱的投影 将正三棱柱体置于三面投影体系中，使其底面平行于H面，并保证其中一个侧面平行于V面，如图2-28所示。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,作图前，应先进行分析:三棱柱为立放，它的底面、顶面平行于H面，各侧棱均垂直于H面，故在H面上三角形是其底面的实形;V面、W面投影的矩形外轮廓是三棱柱两个侧面的类似性投影，两条竖线是侧棱的实长，是三棱柱的实际高度。作图步骤如下:(1)作H面投影。底面平行于顶面且平行于H面，则在H面的投影反映实形，并且相互重合为正三角形。各棱柱面垂直于H面，其投影积聚成为直线，构成正三角形的各条边。(2)作V面投影。由于其中一个侧面平行于V面，则在V面上的投影反映实形。其余两个侧面与V面倾斜，在V面上的投影形状缩小，并与第一个侧面重合，所以V面上的投影为两个长方形。底面和顶面垂直于V面，它们在V面上的投影积聚成上、下两条平行于OX的直线。(3)作W面投影。由于与V面平行的侧面垂直于W面，在W面上的投影积聚成平行于OZ的直线。顶面和底面也垂直于W面，其在W面上的投影积聚为平行于OY的直线，另两侧面在W面的投影为缩小的重合的长方形。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,2.五棱柱的投影 正五棱柱的投影如图2-29所示。由图可知，在立体图中，正五棱柱的顶面和底面是两个相等的正五边形，都是水平面，其水平投影重合并且反映实形;正面和侧面的投影重影为一条直线，棱柱的五个侧棱面，后棱面为正平面，其正面投影反映实形，水平和侧面投影为一条直线;棱柱的其余四个侧棱面为投垂面，其水平投影分别重影为一条直线，正面和侧面的投影都是类似形。五棱柱的侧棱线AA0为投垂线，水平投影积聚为一点a(a0)，正面和侧面的投影都反映实长，即aa0=a a“a=AAA,。底面和顶面的边及其他棱线可进行类似分析。根据分析结果，作图时，由于水平面的投影(即平面图)反映了正五棱柱的特征，所以应先画出平面图，再根据三视图的投影规律作出其他的两个投影，即正立面图和侧立面图。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,其作图过程如图2-30(a)所示。需特别注意的是，在这里加了一个45。斜线，它是按照点的投影规律作的。也可以按照三视图的投影规律，根据方位关系，先找出“长对正，高平齐，宽相等”的对应关系，然后再作图，如图2-30(b)所示。(三)棱锥体的投影 棱锥与棱柱的区别是侧棱线交于一点，即锥顶。棱锥的底面是多边形，各个棱面都是有一个公共顶点的三角形。正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的投影在多边形的中心。棱锥体的投影仍是空间一般位置和特殊位置平面投影的集合，其投影规律和方法同平面的投影。1.正三棱锥体的投影2.正四棱锥体的投影(四)棱台体的投影,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,用平行于棱锥底面的平面切割棱锥后，底面与截面之间剩余的部分称为棱台体。截面与原底面称为棱台的上、下底面，其余各平面称为棱台的侧面，相邻侧面的公共边称为侧棱，上、下底面之间的距离为棱台的高。棱台分别有三棱台、四棱台、五棱台等。1.三棱台的投影 为方便作图，应使棱台上、下底面平行于水平投影面，并使侧面两条侧棱平行于正立投影面，如图2-33所示。其作图步骤如下:(1)作水平投影。由于上底面和下底面为水平面，水平投影反映实形，为两个相似的三角形。其余各侧面倾斜于水平投影面，水平投影不反映实形，是以上、下底面水平投影相应边为底边的三个梯形。(2)作正面投影。棱台上、下底面的正面投影积聚成平行于拼的线段;侧面ACFD和ABED为一般位置平面，其正面投影仍为梯形BCFE为侧垂面，正面投影不反映实形，仍为梯形，并与另两个侧面的正面投影重合。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,(3)作侧面投影。棱台上、下底面的侧面投影分别积聚成平行于OY的线段，侧垂面BCFE也积聚成倾斜于OZ轴的线段，而ACFD与ABED重合成为一个梯形。2.四棱台的投影 用同样的方法作四棱台的投影，如图2-34所示。在四棱台的三个投影中，其中一个投影有两个相似的四边形，且各相应顶点相连;另外两个投影仍为梯形。从三棱台、四棱台的投影中我们可以得出这样的结论:在棱台的三面投影中，其中一个投影中有两个相似的多边形，且各相应顶点相连，构成梯形;另两个投影分别为一个或若干个梯形。反之，若一个形体的投影中有两个相似的多边形，且两个多边形相应顶点相连，构成梯形，其余两个投影也为梯形，则可以得出:这个形体为棱台，从相似多边形的边数可以得知棱台的棱数。三、曲面体的投影(一)回转体的形成,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,1.相关概念(1)曲面体:由曲面或曲面和平面围成的立体。(2)回转面:直线或曲线绕某一轴线旋转而成的光滑曲面。(3)母线:形成回转面的直线或曲线。(4)素线:回转面上的任一位置的母线。轮廓素线则是指将物体置于投影体系中，在投影时能构成物体轮廓的素线。(5)纬圆:母线上任意点绕轴旋转形成曲面上垂直轴线的圆。2.常见曲面体的形成常见的曲面体有圆柱、圆锥、圆球等。由于这些物体的曲表面均可看成是由一根动线绕着一固定轴线旋转而成，故这类形体又称为回转体。如图2-35所示，图中的固定轴线称为回转轴，动线称为母线。(1)当母线为直母线且平行于回转轴时，形成的曲面为圆柱面，如图2-35(a)所示。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,(2)当母线为直母线且与回转轴相交时，形成的曲面为圆锥面。圆锥面上所有母线交于一点，称为锥顶，如图2-35(b)所示。(3)由圆母线绕其直径回转而成的曲面称为圆球面，如图2-35(c)所示。(二)圆柱体的投影 圆柱体是由圆柱面和两个圆形底面组成的，如图2-36所示，圆柱面可看成由一条直线AA0绕与它平行的轴线OO0旋转而成。运动的直线AA0称为母线。圆柱面上与轴线平行的直线称为圆柱面的素线。母线AA0上任意一点的轨迹就是圆柱面的纬圆。如图2-37所示，当圆柱体的轴线为投垂线时，圆柱面所有的素线都是投垂线，在平面图上积聚为一个圆，圆柱面上所有的点和直线的水平投影，都在平面图的圆上;其正立面图和侧立面图上的轮廓线为圆柱面上最左、最右、最前、最后轮廓素线的投影。圆柱体的上、下底面为水平面，水平投影为圆(反映实形)，另两个投影积聚为直线。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,作图:如图2-37(c)所示，圆柱体投影图的作图步骤如下:(1)作圆柱体三面投影图的轴线和中心线，然后由直径画水平投影圆;(2)由“长对正”和高度作正面投影矩形;(3)由“高平齐，宽相等”作侧面投影矩形。(三)圆锥体的投影 圆锥体是由圆锥面和一个底面组成的。圆锥面可看成由一条直线绕与它相交的轴线旋转而成。圆锥放置时，应使轴线与水平面垂直，底面平行于水平面，以便于作图，如图2-38所示。如图2-38(a)所示，当圆锥体的轴线为投垂线时，其正立面图和侧立面图上的轮廓线为圆锥面上最左、最右、最前、最后轮廓素线的投影。圆锥体的底面为水平面，水平投影为圆(反映实形)，另两个投影积聚为直线。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,与圆柱一样，圆锥的V面、W面投影代表了圆锥面上不同的部位。正面投影是前半部投影与后半部投影的重合，而侧面投影是圆锥左半部投影与右半部投影的重合。作图:如图2-38(b)所示，圆锥体的作图步骤如下:(1)先画出圆锥体三面投影的轴线和中心线，然后由直径画出圆锥的水平投影图;(2)由“长对正”和高度作底面及圆锥顶点的正面投影，并连接成等腰三角形;(3)由“宽相等，高平齐”作侧面投影等腰三角形。(四)圆球体的投影 圆球体由一个圆球面组成。如图2-39(a)所示，圆球面可看成由一条半圆曲线绕与它的直径作为轴线的OO0旋转而成。母线、素线和纬圆的意义都是一样的。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,如图2-39(b)所示，球体的三面投影均为与球的直径大小相等的圆，故又称为“三圆为球”。V面、H面和W面投影的三个圆分别是球体的前、上、左三个半球面的投影，后、下、右三个半球面的投影分别与之重合;三个圆周代表了球体上分别平行于正面、水平面和侧面的三条素线圆的投影。由图2-39(b)我们还可看出:圆球面上直径最大的、平行于水平面和侧面的圆A与圆C的正面投影分别积聚在过球心的水平与投垂中心线上。作图:如图2-39(c)所示，圆球体的作图步骤如下:(1)画圆球面三投影圆的中心线;(2)以球的直径为直径画三个等大的圆，即各个投影面的投影圆，如图2-39(b)所示。(五)圆环的投影 圆环是由一个圆环面组成的，如图2-40(a)所示。圆环面可以看成是由一条圆曲线绕与圆所在平面上且在圆外的直线作为轴线OO0旋转而成的，圆上任意点的运动轨迹为垂直于轴线的纬圆。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,如图2-40(b)所示，圆环的正面投影是最左、最右两个素线圆和与该圆相切的直线，其素线圆是圆环面正面投影的轮廓线，其直径等于母线圆的直径;直线是母线圆最上和最下的点的纬圆的积聚投影，其投影长度等于此点纬圆的直径，也就是母线圆的直径。侧面投影和正面投影分析相同，在此不再赘述。水平面的投影为三个圆，其直径分别为圆环上下两部分的分界线的纬圆，也就是回转体的最大直径纬圆和最小直径纬圆，用粗实线画出，另一个圆为点划线画出，是母线圆圆心的轨迹。作图:如图2-40(c)所示，圆环的作图步骤如下:(1)先画出三个视图的中心线的投影(细点划线);(2)再画出各个投影面的投影圆;(3)作出正面投影和侧面投影的切线，并将不可见部分用虚线画出。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,四、组合体的投影 建筑物或其他工程形体大都是由简单形体所组成的。这种由基本形体组合而成的形体，称为组合体，在空间形态上，要较基本形体复杂得多，其投影图的绘制也是有规律可循的。(一)组合体的组合方式 组合体的形状、结构之所以复杂，是因为它是由几个基本体组合而成。根据基本形体的组合方式的不同，通常可将组合体分为叠加式、切割式和混合式三种。(1)叠加式组合体。组合体的主要部分是由若干个基本形体叠加而成，则该组合体被称为叠加式组合体，如图2-41(a)所示。(2)切割式组合体。从一个基本形体上切割去若干基本形体而形成的组合体被称为切割式组合体。图2-41(b)所示的组合体，可看成是在一长方体A的左、右面中上部各挖去一个长方体B而形成的几何体。(3)混合式组合体。图2-41(c)所示的组合体，可以成既有叠加又有切割而形成的几何体。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,(二)组合体投影图的画法 画组合体投影图，通常先对组合体进行形体分析，然后按照分析，从其基本体的作图出发，逐步完成组合体的投影。1.形体分析 形体分析法是认识组合体构成的基本方法，其实质为:假想组合体是由一些基本形体组合而成的，通过对这些基本形体的研究，间接地完成对复杂组合体的研究。其日的可用八个字来描述，即“化繁为简，化难为易”。进行形体分析时，首先要把组合体看成是由若干基本形体按一定组合方式、位置关系组合而成，然后对组合体中基本形体的组合方式、位置关系以及投影特性等进行分析，以弄清各部分的形状特征及投影表达。如图2-42(a)所示的房屋模型。从形体分析角度看，它是叠加式组合体。,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,其组合方式为:屋顶是三棱柱，屋身和烟囱是长方体，烟囱一侧小屋则是由带斜面的长方体构成;位置关系:烟囱、小屋均位于大屋形体的左侧，其底面都处在同一水平面上。确定房屋的正面方向，如图2-42(b)所示，以便在正立投影上反映该形体的主要特征和位置关系，侧立投影反映形体左侧及屋顶三棱柱的特征，而水平投影则反映各组成部分前后左右的位置关系，如图2-42(c)所示。在有些组合体中，如某两个或几个基本形体处于相切或平齐时，正投影图中，其分界处不应画线，以免与真实表面情况不符，如图2-43所示。2.确定组合体在投影体系的位置 在作图前，应对组合体在投影体系中的安放位置进行选择、确定，以利于清晰、完整地反映形体。因此应按以下原则确定:,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,(1)符合平稳原则。形体在投影体系中的位置，应重心平稳，使其在各投影面上的投影图形尽量反映实形，符合日常视觉习惯及构图的平稳原则。如图2-42所示，房屋体位平稳，墙面均与V,W面平行，能较好地反映实形。(2)符合工作位置。有些组合体类似于工程形体，比如建筑物、水塔等，在画这些形体投影图时，应使其符合正常的工作位置，以便于理解。(3)摆放的位置要尽可能多地显示特征轮廓，最好使其主要特征面平行于基本投影面。通常，我们把组合体上特征最明显(或特征最多)的那个面，平行正立投影面摆放，使正立投影反映特征轮廓。如建筑物的正立面图，一般都用于反映建筑物主要出入口所在墙面的情况，以表达建筑物的主要造型及风格。3.选择比例与图幅,上一页,下一页,返回,第四节基本形体的投影,为了作图和读图的方便，作图最好采用1，1的比例。但工程物体有大有小，无法按实际大小作图，所以必须选择适当的比例作图。当比例选定以后，再根据投影图所需面积大小，选用合理的图幅。4.作投影图 画组合体投影图的已知条件有两种:一是给出组合体的实物或模型;二是给出组合体的直观图。不论哪一种已知条件，在作组合体投影图时，一般应按以下步骤进行:(1)对组合体进行形体分析;(2)选择合理的摆放位置，并确定作图比例与图幅;(3)制作投影图。作投影图时，应先布置投影图的位置，再根据组合体选定的比例计算每个投影图的大小，均衡匀称地布置图位，并画出各