《微积分的应用》PPT课件.ppt

在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。,微积分基本公式,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,一般情况,注,此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量 x 求导，其结果就等于被积函数在上限自变量 x 处的函数值,若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行,例1 求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解,证,证,证,令,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理2（原函数存在定理）,前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。,定理 3（微积分基本公式）,三、Newton-Leibniz公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,证,注,微积分基本公式表明：,（2）N-L公式揭示了积分学两类基本问题不定积分与定积分两者之间的内在联系,（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.,（4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。,注意,解,原式,例5 设,求.,解,例4 求,例6 求,解,由图形可知,例7 求,解,解 面积,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,3.微积分基本公式,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。,注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x)连续（2）F（x）是 f(x)在 该区间上的任一原函数,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,