《微分方程讲》PPT课件.ppt

微分方程,第六章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(所讲内容),(n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,可分离变量方程,一阶线性微分方程标准形式,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,称为齐次方程;,可降阶的二阶微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程,常见的微分方程类型,用Matlab求解微分方程,用Matlab符号工具箱中的函数dsolve,可求解微分方程，其调用格式如下：,R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),说明：求微分方程或微分方程组eq1,eq2,满足初始条件cond1,cond2,关于自变量v的解。默认的自变量为t,例1 求微分方程,的通解。,Dsolve(5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x),x),例2 求微分方程组,的解。,x=cos(t)*C1+sin(t)*C2 y=-sin(t)*C1+cos(t)*C2,例3 有一弹性系数c=8N/m的弹簧，上挂有质量为2kg的物体，一外力f(t)=16cos4tN作用在物体上，假定物体原来在平衡位置，有向上的初速度2m/s，如果阻力忽略不计，求物体的运动规律s(t).,解 第一步 建立微分方程：,有力学知识，得物体的运动方程为,即,初始条件为,第二步 求解：,s=dsolve(D2y+4*y=8*cos(4*t),y(0)=0,Dy(0)=-2),s=(sin(2*t)+1/3*sin(6*t)*sin(2*t)+(1/3*cos(6*t)-cos(2*t)*cos(2*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t),第三步 化简：上述结果较复杂，可用simple函数化简,simple(s),ans=-2/3*cos(4*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t),故所求物体的运动规律为,谢谢！,