《微分方程应用题》PPT课件.ppt

微分方程应用题,细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?,分析：,例1,将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。,分析：,例2,翻译；建立瞬时表达式；配备物理单位；叙述给定的条件；写出清楚的框架。,净变化率输入率一输出率,主要步骤,某人的食量是2500 cal天，其中1200 cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。,分析：,输入率=2500 cal天,输出率=健身训练16 cal/kg/天体重w(kg)+新陈代谢1200 cal 天,例3,在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?,分析：,例4,设 p(t)表示一种给定物种在时刻 t 的总数，r(t,p)表示该物种出生率和死亡率之差。如果这个群体是孤立的即不出现净迁出或迁入那么总数的变化率 dp/dt 就等于 r(t,p)p在大多数简化了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数而变。于是,如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题,这个初值问题的解是,人口预测,月数 0 2 6 l0,观察到的P 2 5 20 109计算出的P 2 4.5 22 109.1,观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长群体总数的40%，,啮齿动物的增长,1950-1970年人口及增长率,1950-1970年人口,1950-1970年增长率,1961年地球上的人口总数为3.06109 而在以后的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样,用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。17001961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。,预测 25l0年：2,000,000亿；2635年：18,000,000亿；2670年：36,000,000亿。,1961年人口预测,1971-1990年人口及增长率,1991-2004年人口及增长率,1951-2004人口,1951-2004增长率,简化数据表,简化图像,当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。,这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。,逻辑律,数学生物学家GFGause对草履虫做了一个实验：把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量共持续六天。结果发现，当数量不大时这种草履虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律 dp/dtap-bp2增长，那么a2.309，b2.309/375；因此，逻辑律预测,草履虫实验,模型求解,某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029我们还知道，当人口总数为(3.06)109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)a-bp，我们看到 0.02a-b(3.06)109因此，b294110-12这样，根据群体增长的逻辑律地球上的人类人口将趋于极限值,常数估算,预测人口,预测增长率,证明对于,是正的。,2、选择三个时间，且,证明根据 可以唯一确定,3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000(lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。,4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h 后群体总数将是多少。a)108 b)109,1、,在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt0.003p(t)其小t以分钟度量。在t0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。,a)修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。,b)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t 时会发生什么情况?,5、,如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量）,a)修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市迁出，有4000人被杀这些因素。,b)假设1970年纽约城的人口为8,000,000，求出在未来任意时刻的人口。t 时会发生什么情况？,6、,假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它的模型。设该群体最初受逻辑律,控制，并且一旦p达到某个小于极限总数a/b的特定值Q，流行病便开始传播。在此阶段中生命系数Aa，Bb，且(1)被,7、,所代替。假设QA/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值qA/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。a)证明当p从q增加到Q时，周期的第一部分T1为,b)证明当p从Q减倒到q时，周期的第二部分T2为,据观察每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。a)在这些假设下证明,b)设T1近似地为4yQ/q近似地为50证明a近似地为1，顺便说一下，a 的这个值非常符合老鼠在自然环境中的繁殖率。,8、,早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车不管已扫过的路面）,分析：设单位面积上单位时间降雪量为a(km/h)，路面宽度为b(km)，扫雪速度为c(km3/h)，路面上雪层厚度为H(t)(km)，扫雪车前进路程为s(t)(km)，降雪开始时间为T,例6、,在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内搅拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶内。再将混合掖搅拌均匀然后用1升/min的速度输出。在任意时刻t0，从第二只桶流出的水中含多少盐？,分析：,例7、,在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及会合前所经过的路程。,分析：,例8、,1、根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。如果空气的温度是20且沸腾的水在20min内冷却到60。那么水温降到30需多长时间?,2、一滴球形雨滴，以与它表面积成正比的速度蒸发。求其体积V关于时间的t的函数式。,3、在进入供水系统之前，对原污水进行处理。可减少谁的污染。一种常用的处理方法是使用一只活化污泥交换箱，在交换箱内装有一种浓度为c的活性污泥。把污染度c1的原污水灌入箱内，细菌将消化掉一部分污物。剩下的较清洁的混合物别被注入一只贮水器中。按规定排出物的污染度不得超过安全标准，如0.3c1，故我们的问题是求出达到安全标准的时间。实际上。到那时(t)，可以把原污水引入一个交换箱中。而原箱内的活性污泥经交换处理后污染度由c降至一个适当的最低度c0。假定每分钟输进交换箱的污水为r1gal，而排出的水为r2gal，在t=0时，交换箱内有V0gal的污水，其中含有z0污染物。建立一个数学问题以求出何时应该对交换箱实行分流。,4、如果一笔存款连同连续复利一道计算在16年内翻了一番，问利率是多少?,5、某学院的教育基金，最初投资是P，以后按利率为r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的周年日都要加上新的资本，速率为A/yr。求七年的累积金额。,6、污染物质的含量为2oz/gal的水以500ga1/min的速度流过处理箱。在箱内，每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底搅匀。处理箱可容纳10,000 gal的水。在处理厂开张那天，箱内装满了净水。求流出的水中污染物浓度的函数。,7、一只底部开口面积为0.5cm2的圆锥形漏斗高为l0cm、顶角=600，其内装满水。水流完需多长时间?,8、试建立在作葡萄糖输液后，人体内葡萄糖浓度的模型：输液就是让某种液体以稳定的速度进入静脉的过程，当葡萄糖输入时自由葡萄糖的浓度势必下降(主要是由于与磷化物的结合所致)，浓度下降的速度与葡萄糖的数量成正比。用G表示葡萄糖的浓度，A表示输入的速度(mg/min)。B表示体内(血管内)液体的体积。寻求体内的葡萄糖浓度是否以及怎样达到平衡态。,练习8中的模型有一个不足之处，它假设体内液体的体积为常量。然而，由于人体含有大约4600ml的血液，输入500ml的葡萄糖溶液后，体积的变化是不容忽视的。如何修正这个模型，使其能够反映体积变化？即如何修改微分方程？这会影响平衡值的答案吗？如何影响？这个模型的局限性是什么？,9、在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的浓度成比例。转换A的一半用了20min。把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图像。,