《微分方程 》PPT课件.ppt

第二章,控制系统数学模型,本章主要内容:2.I 2.2 2.3 2.42.5,控制系统的微分方程非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图,数学模型的定义,数学模型：静态模型：参数对时间的变化可以忽略动态模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程,解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。,建立数学模型的方法：,实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,数学模型的形式,时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性,第一节 控制系统的微分方程,一、建立系统微分方程式的一般步骤如下：,确定系统的输入量和输出量根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式,二、微分方程式的建立,（一）弹簧质量阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧质量阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：,图2-1 弹簧质量阻尼器系统,（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：,式中 f 1(t)阻尼器阻力；f 2(t)弹簧力。,(2.1),（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：,(2.2),式中B 阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：,f2(t)=Ky(t),式中 K 弹性系数。,(2.3),（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式:,(2.4),式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。,式(2.4)还可写成:,(2.4a),则有(2.4b),令,TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统 的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入 之比。,列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端的高。,图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。,图2-2 R-L-C电路,（二）R-L-C电路,（1）根据基尔霍夫定律可写出原始方程式：,(2.5),（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：,(2.6),（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中间变量i后，便得输入输出微分方程式：,则,(2.8),(2.7）,令T1=L/R，T2=RC为电路的两个时间常数。当t的单位为秒时，它们的单位也为秒。,式(2.7)或式(2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中左端导数项最高阶次为2。,（三）直流电动机,(a)线路原理图(b)结构图 图2-3 电枢电压控制的直流电动机,磁场固定不变（激磁电流If=常数），用电枢电压来控制的直流电动机。控制输入为电枢电压ua，输出轴角位移q或角速度w 为输出，负载转矩ML变化为主要扰动。求输入与输出关系微分方程式。,（1）不计电枢反应、涡流效应和磁滞影响；当If为常值时，磁场不变，电机绕组温度在瞬变过程中不变。,（2）列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：,式中 La 电枢回路总电感（亨）；Ra 电枢回路总电阻（欧）；Ke 电势系数（伏/弧度/秒）；w 电动机角速度（弧度/秒），；ua 电枢电压（伏）；ia 电枢电流（安)。,(2.9),又根据刚体旋转定律，可写运动方程式,(2.10),式中 J 转动部分转动惯量（公斤米2）；ML 电动机轴上负载转矩（牛顿米）；Md 电动机转矩（牛顿米）。,（3）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定，有:,(2.11),式中 Km 电动机转矩系数（牛顿米/安）。,（4）将式(2.11)代入式(2.10)，并与式(2.9)联立求解，整理后得：,或,(2.12),(2.13),式中 Tm 机电时间常数，（秒）；Ta 电动机电枢回路时间常数，一般要比Tm小，,（秒）。,式(2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。其输入为电枢电压ua，输出为角速度w，负载转矩ML扰动输入。ML变化会使w随之变化，对电动机的正常工作产生影响。,若输出为电动机的转角q，则按式(2.13)有:式(2.14)是一个3阶线性定常微分方程。,（2.14）,许多表面上不同的物理系统：机械系统、电气系统可能会有完全相同的数学模型。,数学模型表达了系统的共性，研究数学模型的特性时，不再涉及原来系统的物理性质和具体的特点。,同一个系统选择不同的输入输出微分方程的形式有变化。,微分方程的阶数=独立储能元件的个数,建立合理数学模型的方法,数学模型越精确就越复杂，从工程的角度出发：在要求的精度下，以最简化的形式反映系统的动态过程，根据系统的结构参数和系统要满足的技术指标，忽略一些次要因素，使模型准确反映系统的本质，又能简化分析计算工作。,第二节、非线性方程的线性化,一、常见非线性模型,数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量,针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理,叠加原理：可加性 齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,第二节、非线性方程的线性化,针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理,叠加原理：可加性 齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,常见非线性情况,尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。,严格讲：所有系统都是非线性的,二、线性化问题的提出,线性系统优点：,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,非线性系统缺点：,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。,三 线性化方法,1、忽略弱的非线型因素,2、小偏差法（切线法、增量线型化法）,增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。,线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。,将非线性函数y=f(x)在工作点（x0,y0)处展成泰勒级数,忽略二次以上的高次项，得到的线型函数来代替原来的非线性函数,线性化步骤：,例3 写出加热炉的微分方程,解：输入量是电压 u(t)输出量是炉温T,q是单位时间产生的热量，qs是单位时间散失的热量，C是物质的热容量,R是热阻,该方程为非线性方程进行线性化处理,将方程在工作点（u0,q0)处展成泰勒级数,忽略二次以上的高次项得,非线性,令,稳态时：,1、首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点。2、以偏量表示的线性化方程式，若输入量工作在较大的的范围内，会带来较大的误差。3、某些典型的非线性特性是不连续的不能进行线性化,线性化处理应注意的几点,