《微分方程全解》PPT课件.ppt

教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解 方法,难 点：一阶线性非齐次微分方程的 通解,重 点：可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线 性微分方程,第二讲 一阶微分方程的解法,主视图,则称为可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,分离变量法,如果一阶微分方程能化为,可分离变量法,例 求解微分方程,解,分离变量,两端积分得,故:,例题,解 分离变量，得,两边积分,因此，通解为,于是，所求特解为,例题,解,由题设条件,衰变规律,例题,回主视图,利用微分方程解决实际问题的步骤：,一、利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；,二、利用数学方法求出方程的通解；,三、利用初始条件确定任意常数的值，求出特解,解题步骤,回主视图,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次微分方程,例 求解微分方程,把变量代回得微分方程的解为,解,例题,例 求解微分方程,解,微分方程的通解为,满足初始条件,的特解,原方程可化为,所求特解为,例题,例 求解微分方程,解,令,则,分离变量，并两边积分,微分方程的通解为,例题,回主视图,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为一阶线性齐次方程.,上方程称为一阶线性非齐次方程.,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性微分方程,回主视图,齐次方程的通解为,线性齐次方程,(使用分离变量法),一阶线性齐次微分方程解法,回主视图,线性非齐次方程,讨论:设y=f(x)是解,则,积分,非齐方程通解形式,一阶线性非齐次方程解法,回主视图,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设解为,积分得,非齐方程通解,常数变易法,例 求解微分方程,对应齐次方程为,故所求通解为,分离变量得,两边积分有,代入原非齐次方程，得,常数变易法例题,根据公式有:,公式法例题,因此，所求特解为,例题,回主视图,例 求解微分方程,解 原方程不是线性方程，但通过适当的变换,可将它化为线性方程 将原方程改写为,由通解公式，得通解,所以，原方程通解为,例题,回主视图,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.,所以,通解,回主视图,的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.,方程为非线性微分方程.,方程为线性微分方程.,解法:经过变量代换化为线性微分方程.,一般地,形如,则上式化为,从而化为一阶线性方程,伯努利方程,回主视图,