《微元法的应用》PPT课件.ppt

微元法的应用,一、学习目标,微元法在高考中的地位：微元法是一种深刻的思维方法，先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体的目的。关于微元法的题目，连续几年出现在江苏高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中。微元法在教材中的广泛应用：在处理匀变速直线运动的位移、瞬时速度，曲线运动速度方向、万有引力由“质点”向“大的物体”过渡、探究重力做功、变力做功、推导第二宇宙速、推导正弦式交流电峰值和有效值的关系等等,微元法的一般思维程序,例1如图1所示，一个质量为m的钢性圆环套在一根固定的足够长的水平直杆上，环的半径略大于杆的半径。环与杆之间的动摩擦因数为。t=0时刻给环一个向右的初速度v0，同时对环施加一个方向始终竖直向上的力F，已知力F的大小为F=kv，(k为大于0的常数且已知，v为环的运动速度)，且有kv0mg，t=t1时刻环开始沿杆做匀速直线运动。试求：在0t1时间内，环沿杆运动的距离。,（一）微元法在力学中的应用,环做加速度减小的减速运动，最后匀速,解析:kv1=mg，v1=mg/k,环在任意时刻t 的加速度 a=(kvmg)/m,式改写为 v=k vt/mgt,在v0v1区间内对式各项求和有 v=kx/mgt,由式可得 v0v1=kx/mgt1 式整理得 x=m(v0mg/k+gt1)/k,=k x/mgt,取一段时间微元t0，a=v/t,求：在0t1时间内，环沿杆运动的距离。,练习1从地面上以初速度v0竖直上抛出质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，落地前球已经做匀速运动，求：作出球运动的速率随时间变化的图象；球上升的最大高度,设上升至速度为v时加速度为a，ma=mg kv,对变化的速度、位移从牛顿定律出发，采取先微元、再求和的方法,并注意换元的技巧。,取一段时间微元t，a=v/t 有：,例2如图所示，一个由绝缘细线构成的刚性轨道水平放置，轨道OCD部分光滑，是以B为中心，l为半径的半圆，AB2l，直轨道DE部分是粗糙的且足够长。轨道上A处有电荷量为Q1的正点电荷，B处有电荷量为Q2的负点电荷（|Q2|Q1）。一个质量为m电荷量为q的小环套在轨道上，环与轨道间的动摩擦因数为。已知点电荷产生电场时，若以无穷远为零势面，其电势可表示为=kQ/r，Q为场源电荷，r为与电荷的距离。（1）若小环初始位置在O处，受到轻微扰动后沿半圆轨道加速运动,求小环运动至D处的速度大小v0。,（二）微元法在静电场中的应用,解：（1）根据点电荷产生的电势公式可知，Q2在O、D两处产生的电势相等，小环从O运动到D只有点电荷Q1对环做功，由动能定理可得 WOD=q（OD）=mv02/2 即 kQ1q/l kQ1q/3l=mv02/2解得,例2（2）若小环到达D点后沿直轨道DE运动。设小环在两个点电荷Q1、Q2共同作用下所受库仑力与速度大小成正比，比例系数为k，经过时间t0静止，求小环在直轨道上运动的距离x。,解析：设某时刻t小环运动速度为v时加速度为 a=(mg+kv)/m,取一段时间微元t，a=v/t 有：,v=(gt+kvt/m)=(gt+kx/m),v=(g t+k/m x),v0=gt0kx/m x=m(v0gt0)/k,练习2，电量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图3所示），求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度和电势,图3,解析：选电荷元,空间元,注意矢量和标量不同的叠加方法,它在P点产生的电场的场强的x分量为：,根据 对称性,电荷元在P点的电势为,（三）、微元法在电磁感应中的应用,例3.如图4，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动。已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5，B=0.5T，=30，g取10m/s2，不计两导棒间的相互作用力。,（三）、微元法在电磁感应中的应用,为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？,解析：设a的速度为v1，由于b初态速度为零，则 I=E1/2R=Bdv1/2R 对b：FA=BId=B2d2v1/2R b要下滑 FAmgsin 将式代入式得：v110m/s,（三）、微元法在电磁感应中的应用,例3.如图4，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动。已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5，B=0.5T，=30，g取10m/s2，不计两导棒间的相互作用力。若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v1=2m/s的速度沿导轨向上运动，试导出F与b的速率v2的函数关系式并求出v2的最大值；,解析：设a的速度为v1，b的速度为v2，回路电流为I，则：I=（E1+E2）/2R=Bd(v1+v2)/2R 对a：mgsin+FA=F mgsin+B2d2(v1+v2)/2R=F 代入数据得:F=3+v2/4(N)设b的最大速度为vm，则有：B2d2(v1+vm)/2R=mgsin代入数据得:vm=8m/s,（三）、微元法在电磁感应中的应用,在中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（结果保留三位有效数字）。,解析：对b：mgsinFA=ma 即 mgsinB2d2(v1+v2)/2R=ma 取一段时间微元t，a=v/t,mg sinB2d2(v1+v2i)/2R=mv2i/t 代入数据并整理得：8v2i=2v2i/t 等式求和得：8tv2it=2v2i 8tx2=2v2 将t=2s，v2=5.06m/s代入上式得：x2=5.88m,解法1：a的位移：x1=v1t=22=4m由动能定理知：mv22/20=WFmgx1sinmgx2sinWA WA=Q 代入数据得：WF=14.9J,解法2：棒a有一很小位移x1时，力F做的功为Wi=Fix1=mgsin30 x1+B2d2(v1+v2i)x/2R代人数据得 Wi=3x1+0.25v2ix1 式中v2i可由式求得：v2i=82v2i/t得：Wi=3x1+(82v2i/t)0.25x1=5x10.5v2 ix1/t式中v2i为棒b在t时间内的速度增量，x1为棒a在t时间的位移，所以x1/t=v1=2m/s，代入式并求和得 WF=5x10.5 v1v2i=5 x10.5 v1v2=54J15.06J=14.9J,两种解法，其中第二种解法并未使用“2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，”这一条件，所以，这是一个有多余已知条件的高考模拟题。在条件充分的情况下，微元法并不是唯一选择，不要形成遇到电磁感应必用微元这样的先入为主的印象,练习3-1如图5所示，两平行光滑的金属导轨AD、CE相距L=1.0m，导轨平面与水平面的夹角=30，下端用导线连接R=0.40的电阻，导轨电阻不计PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场，磁场的宽度d=0.40m，边界PQ、HG均与导轨垂直质量m=0.10kg、电阻r=0.10的金属棒MN垂直放置在导轨上，且两端始终与导轨电接触良好，从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放，取g=10m/s2（1）若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场（在同一水平线上各处磁感应强度相同），金属棒进入磁场后，以a=2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求磁场上边缘（紧靠GH）的磁感应强度；（2）在（1）的情况下，金属棒在磁场区域运动的过程中，电阻R上产生的热量是多少？（3）若PQGH范围内存在着磁感应强度B=0.50T的匀强磁场，金属棒在磁场中运动过程受到F(0.75v-0.5)N（v为金属棒运动速度）沿导轨向下的力作用，求金属棒离开磁场时的速度,解析：（1）设磁场上边缘的磁感应强度为B0，金属棒刚进入磁场时的速度为v0、产生的感应电流为I0、受到的安培力为F0，则有I0=B0Lv0/（R+r）F0=B0 I0L mv02/2=mgdsinmgsinF0=ma 代入数据解得 v0=2m/s，B0=0.25T（2）设电阻R上产生的热量为Q，金属棒到达磁场下边界时的速度为v，则v2=v02+2ad mv2/20=mg2d sin WA WA=Q总Q总=mg2d sinmv2/2QR=R Q总/(R+r)代入数据解得 QR=0.080J（3）设金属棒离开磁场时的速度为v，则 mgsin+FF安=mv/t 其中 F安t=BI Lt=B2 L2vt/(R+r)=B2 L2x/(R+r)则 mv=mgt/2+FtB2L 2x/(R+r)=0.25x 即 m（vv0）=0.25d代入数据解得 v=3.0m/s,练习3-2如图6所示，两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成，导轨间距L=1m，倾角=45，水平部分处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直。金属棒ab质量m1=0.2kg，电阻R1=1，金属棒cd质量m2=0.2kg，电阻R2=3，导轨电阻不计，两棒与导轨间动摩擦因数=0.2。开始时，棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差h=1m，棒cd放在水平轨上，距MN距离为s0。两棒均与导轨垂直，现将ab棒由静止释放，取g=10m/s2。求：（1）棒ab运动到MN处的速度大小；（2）棒cd运动的最大加速度；（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒cd距离MN的最小距离s0。,解析：（1）对ab运用动能定理得 m1ghm1gcos45h/sin45=m1v02/2 v0=4m/s（2）棒ab运动到MN处，cd加速度最大 Em=BLv0 Im=Em/(R1+R2)Fm=B2L2v0/(R1+R2)=1N Fm m2g=m2a a=3m/s2（3）在光滑不相碰的情况下，两棒最终速度必相等，设为vm对ab棒有 vmv0=a1t=F1t/m对cd棒有 vm0=a2t=F2t/m任一时刻有F1=F2，故得vmv0=(vm0)，即 vm=v0/2设某时刻ab的速度为v1，cd的速度为v2，在时间微元内，ab速度变化为v1E=BL(v1v2)I=E/（R1+R2）由牛顿运动定律对ab有F1=m1v1/t=B2L2(v1v2)/(R1+R2)得 v1v2=(R1+R2)m1v/B2L2t两棒在水平导轨运动的相对位移，即为两棒不相碰的最小距离，故有S0=(v1v2)t=(R1+R2)m1/B2L2 v1=(R1+R2)m1/B2L2(v0v0/2)=1.6m,牛顿定律微分形式与动量定律、动量守恒定律的关系当我们通过一定数量“微元求和法”习题的练习后，切忌逢电磁感应综合题就先入为主的要采用“微元求和法”解题。请看练习3-3,练习3-3、如图7所示，光滑绝缘水平面上放置一均匀导体制成的正方形线框abcd，线框质量为m，电阻为R，边长为L有一方向竖直向下的有界磁场，磁场的磁感应强度为B，磁场区宽度大于L，左边界与ab边平行线框在水平向右的拉力作用下垂直于边界线穿过磁场区（1）若线框以速度v匀速穿过磁场区，求线框在离开磁场时ab两点间的电势差；（2）若线框从静止开始以恒定的加速度a运动，经过t1时间ab边开始进入磁场，求cd边将要进入磁场时刻回路的电功率；（3）若线框以初速度v0进入磁场，且拉力的功率恒为P0经过时间T，cd边进入磁场，此过程中回路产生的电热为Q后来ab边刚穿出磁场时，线框速度也为v0，求线框穿过磁场所用的时间t,解析：（1）线框在离开磁场时，cd边产生的感应电动势 E=BLv回路中的电流 I=E/R则ab两点间的电势差 U=IRab=BLv/4（2）t1时刻线框速度 v1=at1 设cd边将要进入磁场时刻速度为v2，则 v22v12=2aL 此时回路中电动势 E2=BL v2回路的电功率 P=E22/R解得 P=B2L2(a2t12+2aL)/R（3）设cd边进入磁场时的速度为v，进入磁场过程中：P0TWA=(mv2/2mv02/2)=P0TQ设线框从cd边进入到ab边离开磁场的时间为t，则P0t=mv02/2mv2/2解得 t=Q/P0T线框离开磁场时与进入过程相同，时间还是T，所以线框穿过磁场总时间t t=2T+t=Q/P0+T,巩固1、如图8所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。,图8,解析：(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W由动能定理 mgsin4d+WBIld=0 且 Q=W解得 Q=4mgdsinBIld（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则线框共向下运动2d，由动能定理 mgsin2d+W=mv12/20 有装置在磁场中运动时收到的合力 F=mgsinFA 感应电动势 E感=Bdv感应电流 I感=E感/R安培力 FA=BId由牛顿第二定律，取时间微元t，有a=v/t=F/m则 v=(gsinB2d 2 v/mR)t 有 v1=gt1sin2B2d 3/mR 解得（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动 由动能定理 mgsinxmBIl(xmd)=0 解得 xm=BIld/（BIlmgsin）,巩固2、如图9所示，两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的xOy平面内，导轨与x轴平行，左端接有阻值为R的电阻.在x0的一侧存在竖直向下的磁场，金属棒质量为m，电阻为r，与金属导轨垂直放置，且接触良好开始时，金属棒位于x=0处，现给金属棒一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计问：金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功和电阻R上产生的焦耳热；若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x1；若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x2,图9,解析 根据动能定理w=0mv02/2 Q=mv02/2 QR=QR/(R+r)=Rm v02/2(R+r)E=Bdv F=BId=B2d2v/(R+r)=ma v=at mv=B2d2v/(R+r)t=B2d2/(R+r)xx1=mv0(R+r)/B2d2 mv=B2d2v/(R+r)t=d2/(R+r)kxxmv0=d2/(R+r)kxx=d2/(R+r)kx22/2,总结：,1、微元思想在高中物理教材中有着广泛应用，也是近几年江苏高考压轴题和各大名校自主招生考试中的热点；2、微元法在处理连续变化的问题时，有其独特的方法，要注意取元的原则：可加性、有序性、平权性3、最常见的换“元”技巧有如下几种“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）4、微元法并不是处理变力问题的唯一方法，还有动能定理、图像法、平均力法、积分法等,微元法的一般思维程序,第一步，取元。隔离选择恰当微元(空间元、时间元)作为突破整体研究的对象。微元可以是:一小段线段、圆弧;一小块面积;一个小体积、小质量;一小段时间，但应具有整体对象的基本特征。第二步，模型化。将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动等)，并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。第三步，求和。将一个微元的求解结果推广一到其他微元，并充分利用各微元间的关系，如对称关系、矢量方向关系、量值等关系)，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。,