《循环码教学》PPT课件.ppt
第五章 循环码,要求掌握的内容,根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵会写循环码生成和校验矩阵的系统形式会画循环码的编码电路由生成多项式的根定义循环码,第一节 循环码,定义循环码的生成多项式和校验多项式循环码的生成矩阵和校验矩阵循环码的系统码形式,一、循环码定义,定义1：设CH是一个n.k线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。,定义2：设,是n维空间的一个k维子空间，,若对任一,恒有,则称Vn,k为循环子空间或循环码,问题一如何寻找k维循环子空间？如何设计n,k循环码？,利用多项式和有限域的概念,注：1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系,2、模n 多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环Fpx/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算，即,则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类线性结合代数。,问题一转化为如何从模多项式xn-1的剩余类结合代数中寻找循环子空间？,定理,以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数中，其一个子空间Vn,k为循环子空间(或循环码)的充要条件是：Vn,k是一个理想。,循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中的一个理想。,问题二如何从多项式剩余类环中寻找理想？,由于 1、多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想主理想中的所有元素可由某一个元素的倍式构成 2、在主理想的所有元素中，至少可找到一个次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式定义：生成多项式g(x)是模xn-1剩余类代数中，一个理想的次数最低的非零首一多项式，它是理想或循环码的生成元。,问题三如何寻找生成多项式g(x)？,循环码,模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想,生成多项式,二、生成多项式和校验多项式,两个定理,定理1:GF(q)(q为素数或素数的幂)上的n,k循环码中，存在唯一的n-k次首一多项式g(x)，每一个码多项式C(x)必是g(x)的倍式，每一个小于等于(n-1)次的g(x)的倍式一定是码多项式,两个定理,定理2:GF(q)(q为素数或素数的幂)上n,k循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式：xn-1=g(x)h(x)。反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(x)整除，则g(x)一定能生成一个n,k循环码,两个结论,结论1:找一个n,k循环码，即是找一个n-k次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。,结论2:若C(x)是一个码多项式，则,反之，若,，则C(x)必是一个码多项式,Examples GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)试求一个7,4循环码。,g(x)、xg(x)、x2 g(x)、x3g(x)、,三、循环码的生成矩阵和校验矩阵,g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵,四、循环码的系统码,模g(x)的除法问题,由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求余式时，可选择k个线性无关的信息组(1,0,0,0)xk-1，(0,1,0,0,0)xk-2,(0,0,0,0,1)1,表示ri(x)的系数,循环码的编码原理(1),基本步骤(n,k),1、分解多项式xn-1=g(x)h(x),2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式,3、由g(x)可得到k个多项式g(x),xg(x),xk-1g(x),4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵,5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*(x),xh*(x),xn-k-1h*(x),的系数即可构成相应的校验矩阵,可选择k个线性无关的信息组(1,0,0,0)xk-1，(0,1,0,0,0)xk-2,(0,0,0,0,1)1,循环码的编码原理(2),表示ri(x)的系数,由生成多项式的根定义循环码,设码的生成多项式 g(x)=xr+gr-1xr-1+g1x+g0,giGF(q)它必在某一个GF(q)的扩域上完全分解，即它的根必在此扩域上。考虑g(x)无重根的情况，即要求xn-1无重根。,定理,在GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是(n,q)=1在GF(2)上要保证g(x)无重根的条件是xn-1中的n是奇数，因此二进制循环码中，码长是奇数。,g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-ar)，aiaj，aiGF(qm)每一码多项式必以a1,a2,ar为根。则 C(ai)=cn-1ain-1+cn-2ain-2+c1ai+c0=0,g(x)=LCM(m1(x),m2(x),mr(x)回顾共轭根系的概念,设f(x)=fkxk+fk-1xk-1+f0,fiGF(p)。若p特征域的元素w是方程f(x)的根，f(w)=0,则对于一切自然数n,wpn也必是f(x)的根。,共轭根系,最小多项式：系数取自GF(p)上，且以w为根的所有首一多项式中，次数最低的多项式称为w的最小多项式，记为m(x),循环码的编码,多项式乘法和除法电路循环码的编码电路(乘法和除法),一、多项式乘法和除法电路,乘B(x)运算电路(利用校验多项式h(x)编码时会用到),除B(x)运算电路,a0,a1,ak,除式B(x)构成电路，被除式A(x)的系数依次送入电路,多项式相乘相除电路,当H(x)、G(x)次数不同时,输入,输出,1,x2,1,x3,x,二、循环码编码电路,循环码编码电路,循环码编码电路n-k 级编码器基本原理：利用生成多项式g(x)若要求编成非系统码形式，则利用乘法电路若要求编成系统码形式，则利用除法电路,n-k级乘法电路(非系统码形式),取g(x),xg(x),xk-1g(x)的系数可构成生成矩阵G,n-k级乘法电路(非系统码形式),若信息序列 m=(m0,m1,mk-1),则mG对应的n维向量为：,该n维向量正是多项式m(x)g(x)的系数,GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)，g(x)=x3+x+1，试画一个7,4循环码的n-k级乘法编码电路。,Example,输入m(x),输出c(x),由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求余式时，可选择k个线性无关的信息组(1,0,0,0)xk-1(0,1,0,0,0)xk-2(0,0,0,0,1)1,循环码的系统码,表示ri(x)的系数,循环码的系统码,n-k级乘法电路（系统码形式）,对任意信息多项式m(x),xn-km(x)除g(x)可得余式r(x)，m(x)的系数为信息序列m，r(x)的系数为m对应的校验比特若信息序列 m=(mk-1,mk-2,m0)；对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+m0因此，循环码的系统码电路是信息多项式m(x)乘xn-k,除g(x)的实现电路,n-k级乘法电路（系统码形式）,门2,GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)，g(x)=x3+x+1，试画一个7,4循环码的n-k级系统码形式的乘法编码电路。,Example,输入m(x),输出c(x),门1,门2,k 级编码器,基本原理：利用校验多项式h(x)；为系统码编码电路若信息序列 m=(mk-1,mk-2,m0)对应的多项式m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+m0码多项式C(x)=m(x)g(x),且C(x)为系统码 h(x)C(x)=h(x)m(x)g(x)=m(x)(xn-1)=m(x)xn-m(x)=mk-1xn+k-1+mk-2xn+k-2+m0 xn-(mk-1xk-1+mk-2xk-2+m0),k 级编码器,h0 cn-1+h1 cn-1-1+hk cn-1-k=0,h0 cn-2+h1 cn-2-1+hk cn-2-k=0,h0 cn-3+h1 cn-3-1+hk cn-3-k=0,h0 ck+h1 ck-1+hk c0=0,h(x)C(x)的乘积中，xn-1,xn-2,xk次的系数为零xn-1的系数xn-2的系数xn-3的系数xk的系数,k 级编码器,cn-1-k=-(h0 cn-1+h1 cn-1-1+hk-1 cn-1-(k-1),cn-2-k=-(h0 cn-2+h1 cn-2-1+hk-1 cn-k-1),cn-3-k=-(h0 cn-3+h1 cn-3-1+hk-1 cn-k-2),cn-k-(n-k)=-(h0 ck+h1 ck-1+hk-1 c1),由于hk=1,循环码k级编码电路,k 级编码器,GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)，g(x)=x3+x+1，h(x)=x4+x2+x+1。试画一个7,4循环码的k级系统码形式的编码电路。,Example,第三节 几类特殊的循环码,最小循环码缩短循环码准循环码双环循环码,特殊的循环码,最小循环码一个理想中不再含有任何的非零理想，此理想对应的循环码称为最小循环码或既约循环码缩短循环码对循环码缩短得到的码取n,k循环码中前i位信息位为0的码字，得到一个n-i,k-i缩短循环码准循环码一个mn0,mk0线性分组码，若它的任一码字左移或右移循环移位n0次后，得到的码仍是该码的一个码字，则称这类码为准循环码双环循环码由两个循环矩阵Ik和P阵组成的G=Ik P生成的码,Example,8,4码双循环码形式8,4码准循环码形式（n0=2）,Examples:设7,4循环码的生成多项式为 g(x)=x3+x2+1，试1)写出它的校验多项式h(x)2)求出的生成矩阵和校验矩阵3)求出系统码的生成矩阵和校验矩阵4)画出(n-k)级系统码编码电路和k级编码电路,1)h(x)=(xn-1)/g(x)=x4+x2+x+1,2)h*(x)=x4+x3+x2+1,
