《常微分方程数值解》PPT课件.ppt

,第9章 常微分方程数值解法,9.1 引言,实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。,常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。,本章讨论常微分方程的数值解法,9.1 Euler方法,对于一个常微分方程：,通常会有无穷个解。如：,因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：,为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：,要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi=h(常数)。,常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。,设解函数在节点的近似为,由差商公式，我们有,，则：,向前差商公式,可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的,基本步骤如下：,解差分方程，求出格点函数,数值方法，主要研究步骤，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。,这种方法，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。,我们的目的，就是求这个格点函数,为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的 真解；即收敛性问题,误差估计,产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否 会无限制扩大；稳定性问题,做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。,1、向前差商公式,所以，可以构造差分方程,称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累,欧拉法,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度。,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicit Euler method*/,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,例5.1 用欧拉法求初值问题,当h=0.02时在区间0,0.10上的数值解。,方程真解：,梯形公式/*trapezoid formula*/,显、隐式两种算法的平均,注：有局部截断误差，即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式/*midpoint formula*/,假设，则可以导出即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-step method*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-step method*/。,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,使用梯形公式计算时，常采用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：,分析迭代过程的收敛性，可得,于是有,梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算的时候，每迭代一次，都要重新计算函数值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步计算，从而简化算法。,改进欧拉法/*modified Eulers method*/,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,或者表示成下列平均化形式,上式又称改进Euler公式，也可写成,例1,解 该方程为贝努利方程，其精确解为,欧拉公式的具体形式为,改进Euler公式的具体形式为,取步长 计算结果见下表：,9.2.4 单步法的局部截断误差与阶,定义1:在yn准确的前提下,即yn=y(xn)时,用数值方法计算yn+1的误差Tn+1=y(xn+1)-yn+1,称为该数值方法计算时yn+1的局部截断误差。,Tn+1之所以称为局部的，是假设在xn前各步没有误差，当yn=y(xn)时，计算一步，则有,则，Euler法的局部截断误差为,局部截断误差主项,定义2 数值方法的局部截断误差为,则称这种数值方法的阶数是P。,步长(h1)越小,P越高,则局部截断误差越小,计算精度越高。,局部截断误差主项,9.3 龙格-库塔法/*Runge-Kutta Method*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开,Step 2:将 K2 代入第1式，得到,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和 ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*Classical Runge-Kutta Method*/：,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,例 取步长h=0.2，用经典格式求解初值问题,解:由四阶经典龙格-库塔公式可得,9.3.3 变步长的龙格-库塔法 在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分方程数值解法也有选择步长的问题。以经典的四阶龙格-库塔法为例。从节点xi出发，先以h为步长求出一个近似值，记为，由于局部截断误差为，故有,当h值不大时，式中的系数c可近似地看作为常数。,然后将步长折半,即以为 步长,从节点xi出发,跨两步到节点xi+1,再求得一个近似值,每跨一步的截断误差是,因此有,这样,由此可得,这表明以 作为 的近似值，其误差可用步长折半前后两次计算结果的偏差,来判断所选步长是否适当,当要求的数值精度为时：,（1）如果，反复将步长折半进行计算，直至为止，并以上一次步长的计算结果作为。这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要反复判断，增加了计算工作量，但在方程的解y(x)变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少，结果还是合算的。,