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工程电磁场,电信教研室 苑东伟,第三章 静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场,31 恒定电场的基本方程与场的特性,1恒定电场的基本方程无散无旋场,在恒定电流场中，我们将讨论Jc和E，而不再是D和E。,电流场中的任意闭合面内不可能有自由电荷增减的变化，即。对于导电媒质中的恒定电流场，由任意闭合面净流出的电流应为零；或者说，传导电流连续。（在无源区）,导电媒质中（电源区域外）恒定电场具有无散无旋场。,E=,2=0,拉普拉斯方程,引入标量电位函数(r)作为辅助场量,例3-1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。,图 扇形导电片中的恒定电流场,解：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问题为：,故导电片内的电位：,电流面密度分布为：,厚度为t的导电片两端面的电阻为：,2电功率,在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的（E，F不变），其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为：,dW=Fdl=Edl dq=dU dq,图 电功率的推导,外电源提供的电功率为：,故恒定电流场的电功率体密度：,p=EJ（E、J方向一致，焦耳楞次定律的微分形式 P=UI）,3不同媒质分界面上的边界条件,类同于静电场的讨论,D2n-D1n=,E1t=E2t,（1）两种不同导电媒质分界面上的边界条件：,J1n=J2n,en(J2J1)=0,E1t=E2t,en(E2E1)=0,对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律。,（2）良导体与不良导体分界面上的边界条件：,当电流从良导体（比如：铜）流向不良导体（比如：土壤）时，如图所示，设 1 2，即,只要1 90，就有2 0。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(20)。,不计良导体内部的电压降（电场强度仅有E2n），把良导体表面可近似看作为等位面。,接地器：钢的电导率为 5 106 s/m，土壤为10-2 s/m，所以，1=89。59，2=8 0,（3）导体与理想介质分界面上的边界条件：,（4）两种有损电介质分界面上的边界条件（高压大容量设备：电缆、电容器）：,介质内有漏电流存在（如：被击穿），介质既有电容特性，又有电导特性。,E1t=E2t,只有当两种媒质参数满足 条件时，=0,例3-2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为1，1和2，2，厚度分别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。,解：本例中既有静电场特性（we，），也有恒定电流场特性（p,）。(1)忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件,1静电比拟将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较,32 恒定电场与静电场的比拟.接地系统,对应的物理量,只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位、电场强度E和电位移矢量D的分布相一致（静电比拟法）。,两种场在分界面上的Jc 线与对应的D线折射情况相同,可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。,静电比拟：由以上的相似原理，可以把一种场的计算 和实验结果，推广应用于另一种场。,电流场模拟的方法,例3-3：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。,（1）解法一：恒定电场分析法电场强度E和泄漏电流密度Jc均只有径向分量，作一半径为的同轴单位圆柱面，且令l长泄漏电流为I，则,（2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中,已求得电场强度为,2接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施，为电力系统正常工作提供了零电位基准参考点。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。,给定时刻工频交流电力系统场分布的分析方法与结论全同于静态场。,接地器：在工程上，为了接地，将金属导体埋于地内，将系统中需要接地的部分与该导体相连接，这种埋入地内的导体系统称为接地器。,如三相高压变压器中性点工作接地。,接地电阻：电流在流经大地时遇到的电阻，包括接地器本身的电阻、接地导线的电阻、接地器和大地之间的接触电阻，以及两接地器之间土壤的电阻。,下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得：,当ra时,由良导体与不良导体边界面条件，良导体球内部场强与外部土壤场强相比很小，所以我们可以把导体球看作等势体，当ra时，有,对于深埋入地下的导体球形接地器，相当于上图(b)中的情形，2i i。,3跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。,设U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于5070V），可以确定危险区半径r0为,33 恒定磁场的基本方程与场的特性,1恒定磁场的基本方程,安培环路定律：,磁通连续性原理：,媒质的构成方程为：,有旋无散性,类比的方法类比静电场,2真空中的安培环路定律.恒定磁场的有旋性,源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。,B是场中所有励磁电流共同产生的效应，而B的环量仅与闭合曲线所包围的场源相关（与I4无关）。,3磁通连续性原理.恒定磁场的无散性,磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。没有孤立磁荷，磁力线总是自身闭合，且与电流线相互交链。,4毕奥萨伐尔定律,自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A的旋度。若已知Jc(r)，可以先计算矢量磁位A，然后再通过计算A旋度计算磁感应强度B。,在恒定电流电场中Jc和E都是无散无旋的。,体电流Jc：,面电流K：,线电流I：,34 自由空间中的磁场,自由空间中的恒定磁场问题，分析研究的首要任务即：在给定源量的作用下求其基本场量磁感应强度 的空间分布。,1 场分布：基于场量 的分析,思路一：由毕奥萨伐尔定律，利用矢量积分直接计算。类比静电场，先离散化整体电流分布为典型的元电流 分布的组合，求出相应于元电流场中元磁感应强度的解答，然后应用叠加定理，合成所有元电流的贡献，求得场分布。,思路二：利用真空中的安培环路定律，对具有对称性场分布 特征的磁场问题进行直接计算。如果能够找到一条闭合曲线l，在该曲线上，各点的 磁感应强度的数值相等，且其方向与积分元方向有不变的 夹角关系。,例3-4：计算真空中载流I 的有限长直导线所引起的磁感应强度。,解：首先，计算图(a)所示场点P处的B；然后，推广至图(b)所示任意场点P1、P2和P3 处的B的计算。(1)场点 P处的磁感应强度采用圆柱坐标系，取元电流Idz，在点P处产生的dB为,(2)场点P1、P2 和P3 处的磁感应强度,(3)推论：对于P1点，若L，则B为,例3-7：计算真空中半径为a，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。,解：应用安培环路定律，得(1)导体内部(a),(2)导体外部(a),2 场分布：基于矢量磁位 的分析,A与Jc，K，I的方向一致,解：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即,当L 时，可表示为,例3-9：计算空气中长度为2L的长直载流导线在中截面上P点的矢量磁位和磁感应强度。,讨论：当L时A并不存在。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。本例不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。（对比静电场中电轴的参考点问题）。讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为：,式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。图（3-21）,在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距0的Q点为矢量磁位参考点，应有,例3-10：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b且远大于a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。,解：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点P处的矢量磁位即可。设矢量磁位参考点位Q，则P点的矢量磁位A为,为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则01=02，得,借助矢量磁位求磁通,磁耦极子,电子绕核运动，形成小的电流环形电流，从而对外产生磁场。,例3-12：求图示半径为a的载流小圆环（磁耦极子）在远处（ra）的矢量磁位和磁感应强度。,解：采用图示球坐标系。定义 为磁耦极子的磁偶极矩（类比于电偶极子中电偶极矩的定义p=qd），简称磁矩。,m p；0 1/0。这说明磁矩在远区产生的磁力线与电矩在远区产生的电力线分布形态相同。其中一个基本差别就是：磁力线自身闭合。,矢量磁位的双旋度方程,引入库仑规范：,矢量形式的泊松方程,在无源区中，Jc=0，则上式成为矢量拉普拉斯方程,Jc与A同向,4磁场线,与电力线类似，磁力线上任一点的B与该点上的切向一致。磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为,Bdl=0,设Jc=J ez，则A=Aez。由B=A，得,代入磁力线方程，得,dA=0,A=常量,垂直于A,（1）平行平面磁场：,在平行平面磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）且等A线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即（图3-27）,（2）轴对称磁场：,在圆柱坐标系下，B线满足的微分方程为,设Jc=Je，则A=Ae。由B=A，得,A=常量,在轴对称磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）。,35 媒质中的磁场,1媒质磁化,图 磁化媒质建立的磁场,磁化强度矢量：,束缚电流密度：媒质被磁化后产生的净磁矩，也可看作是在媒质中出现等效的宏观束缚电流，即所谓的磁化电流的结果。（类比于静电场中的束缚电荷，即极化电荷）,磁化体电流密度Jm=M,磁化面电流密度Km=Men,2磁场强度,媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。因此，总的磁场是在真空中电流源 Jc 和磁化电流 Jm 共同建立的合成磁场。,定义磁场强度 H,积分形式：一般形式的安培环路定律,磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算，,磁导率,实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即 M=mH,m 称为磁化率，可正可负，所以M也是可正可负的。,B=0(H+M)=0(1+m)H,=(1+m)0=r 0,B=H,称为媒质的磁导率，单位是亨/米(H/m)，r为相对磁导率。根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型：,(1)抗磁性媒质：m 0，当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂和钯等属顺磁性媒质。(3)铁磁性与亚铁磁性媒质：m 0，这类媒质在外磁场作用下会发生显著的磁化现象。在外磁场作用下产生显著的磁性，如铁、镍、钴等属这类铁磁性媒质(r 1)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为亚铁磁性媒质，如铁氧体等，其磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。,铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用需求。铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波器件中获得广泛的应用。,媒质磁化性能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向同性与各向异性等特点。,对于均匀媒质Jm=M=(mH)=m H=0（无源区）,可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零，而Km不为零。即在宏观体积表面表现出宏观的磁化束缚电流，但是在体积内部则没有磁化体电流密度。,3不同媒质分界面上的边界条件,（1）媒质分界面上的边界条件：,B=0，有B1n=B2n 或 en(B2-B1)=0,在两种媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。,H=Jc设分界面上存在面电流K=Kes(该面电流密度的单位矢量es=enet，且与矩形回路l符合右手定则),H2t-H1t=K 或 en(H2-H1)=K,通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K=0，（但是有束缚磁化电流面密度），则有,H1t=H2t 或 en(H2-H1)=0,当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为,（2）铁磁媒质的边界条件：,设1 2，由恒定磁场折射定律，必有20，即B1n=B2n；H1t=H2t 0,B=H，当，B保持连续，则H0,这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎垂直于铁磁表面。（类似于良导体与不良导体或者介质的边界条件）,（3）矢量磁位表达的边界条件：,A1=A2,4场分布：基于场量H的分析；边值问题；镜象法,例315：在图示含气隙的环形铁芯上紧密绕制N匝线圈，环形铁芯的磁导率为 0，圆环的平均半径为R，线圈半径为a R，气隙宽度为d R。当线圈载流为I时，试求铁芯及气隙中的磁感应强度和磁场强度。,图 含气隙的环形铁芯线圈,（1）基于场量H的分析,一般形式的安培环路定律,解：设忽略漏磁通，铁芯中B和H的方向沿环形的圆周方向，由于R a，铁芯内磁场分布均匀。由于气隙宽度d R，由边界条件（此时仅法向分量），有,0H=H,H d+H(2R-d)=NI,图 含气隙的环形铁芯线圈,（3）镜像法：无限大平面媒质中无限长载流导线的镜像法,例3-18：设一根载流为I的无限长直导线平行放置图示在半无限大铁磁媒质()上方，导线与铁磁媒质平面间的距离为h。试求在空气和铁磁媒质中的磁场。,解：本例中空气为媒质1=0，铁磁媒质2。由镜象法知：在上半空间，磁场可由均匀媒质0中的线电流I和I=I、I0计算如下。在上半空间任一点P处的磁场强度为,图 线电流无限大铁磁平面系统的磁场,在边界上(y=0)，任一点P处的磁场强度为,上述结果再次表明磁力线垂直于铁磁媒质的表面。,在下半空间，磁场可由I0计算。显然，因I0，故铁磁媒质中磁场强度H0。但是，磁通连续，所以铁磁媒质中B绝不可能略而不计（磁力线不能终止，没有磁荷），其值是,36 电感,与电容（C、）、电阻（R、）参数类似，电感（L、）是反映线圈磁场能量的集总参数，必须通过磁场的分析来计算。描述一个电路或两个相邻电路间因电流变化而感生电动势效应的物理参数，分别是自感系数L和互感系数M，它们通称为电感。,1自感,载有电流I的线圈，产生磁通，其各匝交链的磁通的总和称为自感磁链。显然，若N匝的线圈，各匝磁通均等于，则其磁链N。在线性媒质中，线圈的自感定义为自感磁链与其激磁电流I之比,取决于线圈几何形状、尺寸以及媒质磁导率。,图 内、外磁链区分的示意图（P159，图3-36）,当载流导体截面较大时，通常又将自感磁链分为内磁链i和外磁链o两部分之和。,自感L为内自感Li与外自感Lo之和,例3-19：计算图示同轴电缆的自感（设其外壳厚度可予忽略）。,图 同轴电缆的自感,解：为计算自感，设电缆中电流为I。(1)外磁链o,(2)内磁链i：内导体中磁感应强度为,匝比为,内磁链,内自感 Li与a无关，仅与导体长度l有关,同轴电缆的单位长自感为,例3-20 计算两线传输线的自感。,解：x 处的磁场强度,其外磁链,外自感为,通常，因有D R，可进一步简化为：,考虑内自感，则两线传输线的自感为：,2互感在线性媒质中，线圈h对线圈k的互感定义为线圈k上交链的互磁链kh（由 Ih 产生）与线圈h的电流 Ih 之比，即,线圈k对线圈h的互感定义为,我们可证明 Mkh=Mhk,两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率。,例3-21：计算图示两对输电线间的单位长互感。,图 两对传输线间的互感P162，图3-39,解：设导线之间的距离DAC、DAD、DBC和DBD均远大于导线半径。设在导线AB（回路1）通有电流I，在导线CD（回路2）交链的互磁通穿过面积CD和面积CD，即,单位长互感为,3.线形回路的电感,外磁链：,外自感为：,两个线型回路间的互感：,电流I2 在P处产生的矢量磁位为,与回路1相交链的互感磁链为,于是,同理可得,可见,诺以曼公式,37 磁场能量,1载流回路系统中的磁场能量,单个载流回路的磁场能量：,在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为：,n个载流回路的磁场能量为,在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链 k 可表示为自感磁链和互感磁链之和，,各载流系统内的互有能,各载流系统内的固有能,I为各载流回路电流列向量，L为载流回路电感矩阵。,磁场能量分布于整个磁场空间中。（静态）磁场能量的体密度为,2磁场能量密度,例3-23 计算同轴电缆每单位长度内的磁场能量。设电缆载流为I，内、外导体半径分别为a和b，绝缘层为空气，且忽略外导体厚度。,a,解：已知同轴电缆单位长度的电感为,单位长度内同轴电缆中磁场能量为,38 磁场力,洛仑兹力：运动电荷受到的磁场力dF=dqvB；安培力：元电流Idl受到的磁场力dF=IdlB（即为宏观的洛仑兹力，当qI，Idldqdl/dtdqv）。,借助磁场能量来计算磁场力。对于恒定磁场，能量平衡方程为dW=dgWm+Fdg,式中，dW=Ikdk表示电源提供的能量，dgWm为广义坐标变化dg而引起的磁场能量增量，Fdg为在dg方向上，磁场力作的功。,常电流系统（恒流源）,这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一半作为克服磁场力的作功，即,常磁链系统：设定载流回路的磁链保持不变，k=常量，dk=0，dW=Ikdk=0（外电源不提供能量）有,磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得,尽管上述计算方式不同，但其值相同，即,例3-24：计算两线输电线系统中导线所受的作用力。,解：（常电流系统）设导体电流为I，导体半径为a，导体轴心距位D。已知其单位长电感为,系统的磁场能量为,由虚位移法，取广义坐标为D，则载流导体受到的磁场力为,磁场力（广义力）的正方向为广义坐标D增加的方向，可见两导线在沿线间距D扩展的方向上分别受到磁场力F1的作用，即两载流导线相斥。,对a求偏导,指向轴心的应力,作业：P195:3-1、3-2、3-3、3-5、3-6、3-8、3-9、3-10、3-12、3-13、3-14、3-16、3-17、3-18、3-19、3-25,