《导数运算》PPT课件.ppt

,导数及导数的运算,青州六中 田立冰,考纲点击 特别关注,基础盘点 警示提醒,1.已知函数f(x)sinxlnx，则f(1)的值为()(A)1-cos1(B)1cos1(C)cos1-1(D)-1-cos1【解析】选B.因为f(x)cosx+，则f(1)cos11.,2.已知f(x)=x2+3xf(2),则f(2)=()(A)-2(B)2(C)3(D)-3【解析】选A.f(x)=2x+3f(2),f(2)=22+3f(2),f(2)=-2.故选A.,3.曲线y 在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.易知点T为切点，由f(1)2，知切线方程为：y2x-，其在两坐标轴上的截距分别为，-，故切线与两坐标轴围成的三角形面积S,4.设函数f(x)=+tan,其中0,，则导数f(1)的取值范围是()(A)-2,2(B),(C),2(D),2,【解析】,5求下列函数的导数：(1)y，则y=_；(2)y，则y=_；(3)ytanx，则y=_;(4)y=xe1-cosx，则y=_.,【解析】,答案：,考向聚焦 典例剖析,合作探究完成三个例题并完成以下要求：1、一组展示例1，三组点评。2、五组完成例2，二组点评。3、四组完成例3，六组点评。要求时间限制在10-15分钟以内！,1,根据导数的定义求函数的导数【例1】求函数y=在x1处的导数.【审题指导】解决本题的关键是正确的求出y，然后求出极限即可，需要严格按照定义来求解.,【自主解答】,【规律方法】1.根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法.确定y=f(x)在x=x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法.2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的求解步骤,【互动探究】如果把题中y=改为y=，你会求解吗？【解析】,【变式训练】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法).【解析】(1)s=8-3t2,s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,=-6-3t.(2)定义法：质点在t=1时的瞬时速度导数公式法：质点在t时刻的瞬时速度v=st=(8-3t2)=-6t.当t=1时，v=-61=-6.,2,利用求导公式、法则求导数【例2】求下列函数的导数.【审题指导】本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.,合作要求,【自主解答】(1)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.,(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2,(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：(5)设=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成，所以y=fx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.,【规律方法】一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.,【变式训练】求下列函数的导数(1)y=(x+1)(x-1)(x-2)；(2)y=(2x3-1)(3x2+x)；(3)y=tanx-x；(4)y=(5)y=xex(1+lnx)；(6)y=ln【解析】(1)由题可知先整理解析式然后求导y=(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x-2)=x3-2x2-x+2，y=3x2-4x-1.(2)由题意,函数的解析式可变为：y=(2x3-1)(3x2+x)=6x5+2x4-3x2-xy=30 x4+8x3-6x-1.,合作要求,导数的几何意义【例3】1、已知曲线y=(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【审题指导】“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.,【自主解答】(1)所求切线的斜率为y|x=2=22=4，故所求的曲线的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,)，则切线的斜率为，切线方程为y-=x02(x-x0)，因为点P(2,4)在切线上，所以4-=x02(2-x0)，解得x0=2或x0=-1，故所求的切线的方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0.,【规律方法】(1)求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0)处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f(x0)，故当f(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线.,【变式训练】已知曲线C:y=f(x)=x3-3x2+2x,直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.【解析】直线过原点，则k=(x00).由点(x0,y0)在曲线C上，则y0=x03-3x02+2x0,=x02-3x0+2.又y=3x2-6x+2,在(x0,y0)处曲线C的切线斜率应为k=f(x0)=3x02-6x0+2.x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(x00).这时，y0=-,k=-.因此，直线l的方程为y=-x,切点坐标是(,-).,2、(2010全国)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0，则()(A)a=1,b=1(B)a=-1,b=1(C)a=1,b=-1(D)a=-1,b=-1【审题指导】本题是已知曲线在某点处的切线的方程要求参数的值，解决问题的关键是考虑(0,b)是不是在曲线上，如果在曲线上，本题很好处理，反之需要考虑设出切点再求.,【规范解答】选A.由题可知点(0,b)在曲线y=x2+ax+b上，所以在点(0,b)处的导数就是该点处的切线的斜率，所以可得y=2x+a|x=0=a，又因为切线的方程为x-y+1=0，所以可得a=1，又因为点(0,b)在切线x-y+1=0上，可以解得b=1.【误区警示】在解答本题时容易出现以下几点失误：(1)认为点(0,b)既然在切线和曲线上，就直接代入两个方程求解，这样只能解出b=1，不能解出a的值，所以解不出答案.(2)在利用导数的几何意义解题时，分不清楚在(0,b)处的切线和过(0,b)的切线的区别，把这个题目想的过于复杂，其实解决的关键是首先代入验证点是否在曲线上.,此外，解决导数的计算和几何意义相结合的题目时，以下几点容易出现失误：1对求导公式掌握的不够好，不能利用求导公式和求导法则正确的运算.2对于“某点处的导数值等于该点处切线的斜率”这一知识不能灵活的运用.3不能正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.,【变式训练】曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P的坐标.【解析】设P(x0，y0)，由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0 x+1x02，而此直线与曲线y=-2x2-1相切，切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0 x+2x02=0的判别式=4x02-24(2x02)=0.解得x0=,y0=.P点的坐标为(,)或(-,),经典考题 当堂检测,限时五分钟,1.(2010新课标全国卷)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为()(A)y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2【解析】选A.由y=1-可得y=,k=y|x=-1=2,y+1=2(x+1),即y=2x+1，应选A.,2(2010全国)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=()(A)64(B)32(C)16(D)8【解析】选A.y=,k=，切线方程是y-=(x-a)，令x=0，y=，令y=0，x=3a，三角形的面积是S=3a=18，解得a=64.故选A.,3.(2010江西高考)若f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()(A)-4(B)-2(C)2(D)4【解析】选B.本题考查函数的奇偶性，求导后导函数为f(x)=4ax3+2bx是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-2，故选择B.,4.(2011济宁模拟)曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程是_.【解析】y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.当x=-1时，y取得最小值3.切线中斜率的最小值为3，此时切点坐标为(-1，-14).切线方程为y+14=3(x+1)，即3x-y-11=0.答案：3x-y-11=0,5.(2010江苏高考)函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_.【解题提示】解决的关键是正确的求导，并得到切线方程，然后再求得数列的通项公式.【解析】在点(ak,ak2)处的切线方程为：y-ak2=2ak(x-ak)，当y=0时，解得x=，所以ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：21,课堂小结,本节课你学到了什么？,模拟考场 课后拓展,一、选择题(每小题4分，共20分)1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s，那么速度为零的时刻是()(A)0秒(B)1秒末(C)2秒末(D)1秒末和2秒末【解析】选D.由题可知s，vst23t2，令v0，得t11，t22.,2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()(A)4xy30(B)x4y50(C)4xy30(D)x4y30【解析】选A.y4x34，得x1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y14(x1)，整理得4xy30.,3.(2011聊城模拟)曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()(A)e2(B)2e2(C)e2(D)【解析】选D.点(2，e2)在曲线上，切线的斜率ky|x=2ex|x=2e2，切线的方程为y-e2e2(x-2)，即e2x-y-e20.与两坐标轴的交点坐标为(0，-e2)，(1,0)，S 1e2.,4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()(A)1(B)2(C)-1(D)-2【解析】选B.设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y=,=1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),y0=0,x0=-1,a=2.,5.(2011临沂模拟)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx-2的最小距离为()(A)1(B)(C)(D)【解题提示】曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y=x-2平行且与y=x2-lnx相切的直线的切点到直线y=x-2的距离.【解析】选B.过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2-lnx相切，设P(x0，x02-lnx0)，则k 2x0-，2x0 1，x01或x0(舍去).P(1,1)，d,二、填空题(每小题4分，共12分)6.若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.【解析】答案:,7.曲线y=sinx+cosx在x=处的切线方程是_.【解析】根据y=sinx+cosx求导可得y=cosx-sinx，所以y|x=-1,又因为切线过点(,-1)所以可得在x=处的切线方程为y+1=-(x-),即y=-x+-1答案:y=-x+-1,8.(2011北京模拟)已知函数f(x)=3x3+2x2-1在区间(m,0)上总有f(x)0成立，则m的取值范围为_.【解析】f(x)=9x2+4x=(9x+4)x0解得-x0即(m,0)-,0-m0答案:-,0),三、解答题(每小题9分，共18分)9.求曲线f(x)x3-3x2+2x过原点的切线方程.【解题提示】解决本题需要考虑原点是不是切点，如果原点是切点可以直接求解，如果原点不是切点需要设出切点坐标求解.,【解析】f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时，kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0 x033x022x0，kf(x0)3x026x02，又k x02-3x02，由得x0，k-.所求曲线的切线方程为y-x.,【方法技巧】求过函数图象上某点处切线方程的方法：求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0)处的切线方程的关键在于确定该点处切线的斜率k，由导数的几何意义知k=f(x0)，故当f(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).过P点的切线方程的切点坐标的求解步骤：首先设出切点坐标，表示出切线方程，然后由已知点P在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标.,10.(2011绍兴模拟)设t0，点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a，b，c.【解析】因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)0，即t3at0.因为t0，所以at2.g(t)0，即bt2c0，所以cab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f(t)g(t)而f(x)3x2a，g(x)2bx，所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.,11、【探究创新】设有抛物线C：y-x2+x-4，通过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.,【解析】,Thank you!,