一最佳逼近元的存在.ppt

一、最佳逼近元的存在性,定理5.3.1 对任意的f(x)Ca,b,在Pna,b中都存在对f(x)的最佳一致逼近元,记为p*n(x),即 f(x)-p*n(x)=inff(x)-pn(x)成立.证明略,2 最佳一致逼近元的充要条件,定理5.3.2(Chebyshev定理）pn*(x)Pa,b对f(x)Ca,b的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数f(x)-pn*(x)在区间a,b上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组.,即存在点集 a t1 tn+2 b 使得,证明充分性,用反证法.设f(x)-pn*(x)在a,b上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组，但pn*(x)不是最佳一致逼近元.不妨设Pna,b中的元素qn(x)为最佳一致逼近元，即 f(x)-qn(x)f(x)-pn*(x).(4)令Q(x)=pn*(x)-qn(x)=f(x)-qn(x)-f(x)-pn*(x)记x1*,x2*,xn+2*为误差曲线函数f(x)-pn*(x)在a,b上的交错点组，,由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集x1*,x2*,xn+2*上的符号完全由f(x)-pn*(x)在这些点上的符号所决定，x1*,x2*,xn+2*为f(x)-pn*(x)的交错点组，即f(x)-pn*(x)在这n+2个点上正负(或负正)相间至少n+1次，从而至少n+1次改变符号，故Q(x)也至少n+1次改变符号，说明n次多项式Q(x)至少在a,b上有n+1个根，矛盾.即必有f(x)-pn*(x)f(x)-qn(x).,三、最佳一致逼近元的惟一性,定理5.3.3在Pna,b中,若存在对函数f(x)Ca,b的最佳一致逼近元，则惟一.,证明：反证，设有2个最佳一致逼近元，分别是pn*(x)和 qn(x)。,则它们的平均函数 也是一个最佳一致逼近元。,现设误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间a,b上的一个交错点组为x1,x2,xn+2，为此En=|f(xk)-pn(xk)|=1/2|(f(xk)-pn*(xk)+(f(xk)-qn(xk)|.,若对某一个k,1kn+2,f(xk)-pn*(xk)f(xk)-qn(xk),那么上式两个差中至少有一个达不到En或-En，从而,En|f(xk)-pn(xk)|1/2(|f(xk)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)1/2(f(x)-pn*(x)+f(x)-qn(x)1/2(En+En)=En.这是不可能的，因此只有：f(xk)-pn*(xk)=f(xk)-qn(xk),k=1,2，n+2 即pn*(xk)=qn(xk),k=1,2,，n+2.而pn*(xk),qn(xk)Pna,b，故必有pn(x)=qn(x).,（2）所求的逼近多项式为低次多项式,关于交错点组的定理,定理5.3.4,设pn*(x)Pna,b为对f(x)Ca,b的最佳一致逼近元.若f(n+1)(x)在区间a,b上不变号，则x=a和b为误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间a,b上交错点组中的点.,证明：用反证法.若点a(点b类似)不属于交错点组，那么在区间(a,b)内至少存在n+1个点属于交错点组.,即区间(a,b)内n+1个交错点上，f(x)-pn*(x)的一阶导数等于零.这样，由Rolle定理便可推得在(a,b)内至少存在一点,使得f(n+1)()=0.,这与f(n+1)(x)在a,b上不变号矛盾,若f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以推出(a,b)内的交错点必为误差曲线函数f(x)-pn*(x)的驻点,故点x=a属于交错点组.,