《复合函数的导数》PPT课件.ppt

复合函数的导数,复习：,导数的运算法则,cf(x)=Cf(x)(c为常数),复习：,1).求函数y=(3x-2)2的导数.,2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？,把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.,是否还有用其它的办法求导呢?,探 究：,二、新课复合函数的导数：,1.复合函数的概念:,对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.,记作y=f(g(x),问题1:指出下列函数的复合关系：,解:,2.求复合函数的导数,如:求函数y=(3x-2)2的导数,注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积.,复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为,2)法则可以推广到两个以上的中间变量.,3)在书写时不要把 写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量 的求导.,或,令y=u2,u=3x-2,则 从而,3.复合函数的求导法则,应 用 举 例,例1：求下列函数的导数：,（1）y=(5x-6)2;,（2）y=e-0.05x+1;,（4）y=sin(x+);(,为常数),(3)y=ln(x+2),复合函数求导的基本步骤：分解求导相乘回代,函数 的导数是(),A,练 习：,题型一 复合函数的求导方法,(2)令u=x2,则y=cosu,yx=yuux=-sinu2x=-2x sinx2.,规律技巧:求复合函数的导数,要分清函数的复合关系,对于分式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量.最后将中间变量代回到原自变量的函数.,例2:求下列函数的导数.(1)y=(x2-4)2;,解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16y=(x4-8x2+16)=4x3-16x.(方法2)y=2(x2-4)(x2-4)=2(x2-4)2x=4x3-16x.,(2)y=log2(2x2+3x+1);,(3)y=e sin(ax+b),(3)y=e sin(ax+b)=e sin(ax+b)sin(ax+b)=e sin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b)=acos(ax+b)e sin(ax+b).,变式训练2:求下列函数的导数.,(2)y=(sin3x+sinx3)=3 sin2x(sinx)+cosx3(x3)=3 sin2xcosx+3x2cosx3.,1、求下列函数的导数：,课堂练习：,2、求曲线y=sin2x在点P(，0）处的切线方程。,题型二 求导法则的综合应用例3:已知函数f(x)是关于x的二次函数,其导函数为f(x),且xR,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函数f(x)的解析式.,解:设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.又x2f(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,变式训练3:已知函数f(x)是关于x的三次函数,且f(0)=3,f(0)=0,f(1)=-3,f(2)=0,求f(x)的解析式.,解:设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f(0)=0,得c=0,小结：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代,求下列函数的导数:,解:,(2),解:,“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数加以证明:,证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得:得:故 为奇函数.,同理可证另一个命题.,我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.,证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).,两边同时对x求导得:也是以T为周期的周期函数.,例5:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x),解:,说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.,求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直.,证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.,联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.,由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.,