《复合函数》PPT课件.ppt

第二课时复合函数,1.要掌握复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于该函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即yxyuux.2.能综合运用函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，求一些初等函数的导数形如f(axb)型.,1.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数yf(x)是由_和_复合而成的2设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且yx_，或写作fx(x)_.3复合函数yf(axb)的导数为：f(axb)_.,自我校对：yf(u)u(x)yuuxf(u)(x)af(axb),1.函数y(3x4)2的导数是()A4(3x2)B6xC6x(3x4)D6(3x4)解析：y(3x4)22(3x4)36(3x4)答案：D,2函数y2sin3x的导数是()A2cos3x B2cos3xC6sin3x D6cos3x解析：y(2sin3x)2cos3x(3x)6cos3x.答案：D,答案：D,一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)如函数y(2x3)2，是由yu2和u2x3复合而成的复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积,特别注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数如(sin2x)2cos2x，而(sin2x)cos2x.,例1说出下列函数分别由哪几个函数复合而成,分析解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次,点拨找复合函数的复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，一层一层的分析，最里层应为关于x的基本函数或基本函数的和与差,解函数的复合关系分别是：(1)yum，uabxn；,例2求yln(2x3)的导数分析复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量),点拨(1)复合函数求导三步曲形象直观，请同学们认真理解，在应用中首先应准确分层，然后能够正确地层层求导，最后作积还原时不要忘了将中间变量还原为原来的自变量,分析正确选定中间变量是正确求导的关键，同时应注意不可机械地照搬某种固定的模式，这样容易导致复合关系不准确,点拨对于复合函数的求导，应分析复合函数的结构，灵活恰当地选取中间变量，正确使用求导公式求导要遵循“分解求导回代”的原则进行,例4已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证f(x)为奇函数解证法一：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)对f(x)f(x)两边取x的导数，设f(x)(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)为奇函数,f(x)所以f(x)为奇函数点拨对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上，把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则，进行求导运算本例类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数，则f(x)是偶函数,(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值,点拨本题考查导数的综合应用，其中导数的几何意义是基础，函数的有关知识是解题的关键,