《向量的内积》PPT课件.ppt
5.1 预备知识:向量的内积,一、向量内积的定义及性质,在解析几何中有两向量的数量积的概念,即设x,y为两向量,则它们的数量积为:x y=|x|y|cos.,设向量x,y 的坐标表示式为 x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3),则x y=x1 y1+x2 y2+x3 y3.,由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念:,定义1:设有n维向量,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn,称x,y为向量 x 与 y 的内积.,说明1.n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.,说明2.内积是向量的一种运算,如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为:x,y=xT y.,我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:,记,内积的运算性质,设x,y,z为n维向量,为实数,则(1)x,y=y,x;(2)x,y=x,y;(3)x+y,z=x,z+y,z;(4)x,x 0,当且仅当x=0时有x,x=0.,二、向量的长度及性质,称|x|为n维向量 x 的长度(或范数).,定义:令,向量的长度具有下述性质:(1)非负性:|x|0,当且仅当x=0时有|x|=0;(2)齐次性:|x|=|x|;(3)三角不等式:|x+y|x|+|y|.,单位向量及n 维向量间的夹角,(1)当|x|=1时,称x为单位向量.(2)当|x|0,|y|0 时,称为n维向量 x 与 y 的夹角,规定0.,例1:求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角,解:x,y=13+21+25+31=18,所以,故,向量x与 y 的夹角为:,三、正交向量组的概念及求法,1.正交的概念,2.正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.,当x,y=0时,称向量 x 与 y 正交.,由定义知,若x=0,则 x与任何向量都正交.,3.正交向量组的性质,定理1:若向量组1,2,r 是n维正交向量组,则1,2,r 线性无关.,证明:设有数1,2,r,使得:,11+22+rr=0,由于1,2,r 是两两正交的非零向量组,当 i j 时,i,j=iTj=0,当 i=j 时,i,i=iTi 0,则有,用iT(i=1,2,r)左乘上式得,1iT1+2iT2+riTr=iT0=0,iiTi=0.,即,从而得,1=2=r=0,所以1,2,r 线性无关.,4.向量空间的正交基,定义:若正交向量组1,2,r是向量空间V的一组基,则称1,2,r 是向量空间V的一组正交基.,例2:已知三维向量空间中两个向量,正交.试求3使1,2,3构成三维空间的一组正交基.,1=(1,1,1)T,2=(1,2,1)T,即,解之得,解:设3=(x1,x2,x3)T0,且分别与1,2正交.,则有,1,3=2,3=0,x1=x3,x2=0.,若令 x3=1,则有,构成三维空间的一组正交基.,则,5.规范正交基,例如,定义:设n维向量组e1,e2,er是向量空间VRn的一组正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,er是向量空间V的一组规范正交基.,由于,所以,e1,e2,e3,e4为R4的一组规范正交基.,同理可知,也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组).,设e1,e2,er是向量空间V的一组规范正交基,则V中的任一向量a可由e1,e2,er线性表示,设表示式为:,a=1e1+2e2+rer,用eiT左乘上式,有 eiTa=i eiTei=i,即,i=eiTa=a,ei,这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)的计算公式.利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标,因此我们常取向量空间的规范正交基.,6.求规范正交基的方法,已知1,2,r 是向量空间V 的一组基,求V 的一组规范正交基,就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,er,使e1,e2,er 与1,2,r 等价,这样一个问题称为把基1,2,r 规范正交化.,(1)正交化,设a1,a2,ar 是向量空间V 的一组基.,取 b1=a1,则b1,b2,br两两正交,且b1,b2,br与a1,a2,ar等价.,(2)单位化,取,则e1,e2,en是向量空间V的一组规范正交基.,上述由线性无关向量组a1,a2,ar 构造出正交向量组b1,b2,br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.,例3:用施密特正交化方法,将向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1)正交规范化.,解:先正交化.,取,b1=a1=(1,1,1,1),再单位化.,得规范正交向量组如下:,例4:设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,解:先正交化.,取,b1=a1,再单位化.,得规范正交向量组如下:,故,e1,e2,e3 即为所求.,例5:已知,求一组非零向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交.,解:非零向量a2,a3应满足方程 a1Tx=0,即,x1+x2+x3=0.,它的基础解系为:,把基础解系正交化,即合所求.亦即取,其中1,2=1,1,1=2,于是得,几 何 解 释,b2=a2 c2,c2为a2在b1上的投影向量,即,b1=a1,b3=a3 c3,c3为a3在b1,b2所确定的平面上的投影向量,由于b1b2,故c3等于a3分别在b1,b2上的投影向量c31及c32之和,即,四、正交矩阵与正交变换,定理:A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.,若n阶方阵A满足ATA=E,即A-1=AT,则称A为正交矩阵.,证明:由于,ATA=E,性质1:正交变换保持向量的长度不变.,定义:若P为正交阵,则线性变换 y=Px 称为正交变换.,证明:设线性变换 y=Px为正交变换.,则有,性质2:设A为正交矩阵,则A-1=AT也为正交矩阵,且|A|=1或1.性质3:设A,B都是正交矩阵,则AB也为正交矩阵.,例6:判别下列矩阵是否为正交阵.,解(1):考察矩阵的第一列和第二列.,所以(1)不是正交矩阵.,由于,解(2):注意到,该矩阵为对称矩阵,则有,所以(2)是正交矩阵.,例6:验证矩阵,解:P 的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以P是正交矩阵.,是正交矩阵.,五、小结,1.将一组基规范正交化的方法:先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将其单位化.,2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1)A-1=AT;(2)ATA=E;(3)A的列向量是两两正交的单位向量;(4)A的行向量是两两正交的单位向量.,思考题,求一单位向量,使它与下列向量正交.,a1=(1,1,1,1),a1=(1,1,1,1),a1=(2,1,1,3),思考题解答,设所求向量为x=(a,b,c,d),解得:,或,则由题意可得:,
