《向量基本定理》PPT课件.ppt
平面向量基本定理,2.2 向量的分解及向量坐标表示,火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度,情景1,在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1，和使物体垂直与斜面压紧斜面的力F2，,情景2,G,F1,F2,如图，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线AO和绳BO拉住，CO所受的拉力F应于电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2,情景3,a,e1,e2,O,C,M,N,A,B,在同一平面内有两个不共线的向量e1，e2，给定向量a，那么向量a，存在一对实数1，2，使,结论,问题1 给定一个向量a是否可以分解成两个不共线方向上的 向量之和,即,a=1e1+2e2,平面向量基本定理,如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a=1e1+2e2,基底,线性组合,（1）我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）,（2）一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a=1e1+2e2的形式，我们称它为向量的分解,（3）当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解；,数学建构,）平面向量基本定理的内容,存在性,唯一性,如果,是同一平面内的两个不共线向量，,那么对于这一平面的任意向量,一对实数，,使,存在,有且只有,数学建构,平面向量基本定理的理解,使,平面向量基本定理的拓展,无数对,可以不同,也可不同,例1,数学应用,数学应用,练习,（B）,数学应用,2如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.,练习,数学应用,2如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.,解：设,则有,练习,数学应用,3平行四边形ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？,练习,练习4已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又ADE为等腰三角形，F为ED的中点，表示向量,e1,e2,3）ABC中，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则,练习,练习,思考,回顾小结：,）平面向量基本定理内容,定理的拓展性,）对定理的理解与拓展,基底的不唯一性,）平面向量基本定理的应用,复习回顾,平面向量基本定理的内容是什么？,思考：既然向量是既有大小又有方向的量，那如何刻画向量a的相对位置呢？,思考：,向量的正交分解与向量的直角坐标运算,探索1:,以坐标原点O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？,向量的坐标表示,在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向相同的两个单位向量 i,j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x,y,使得 a=x i+y j.,归纳总结,2、单位向量 i,1、a=x i+y j=(x,y)称其为向量的坐标形式.,=,(0,0),=（1，0），j=（0，1）,平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？,探索3：,（1）已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，求a+b,a b.（2）已知a=(x1,y1)和实数，求 a的坐标.,如何计算？,向量的坐标运算,说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。,A,解：由图可知,同理,例1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。,例2.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量 的坐标.,解：,=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。,说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。,例3.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段AB中点的坐标。,解：设M(x,y)是线段AB的中点，则,例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。,例4.在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2),B(2，4)，求向量 的方向和长度.,解：,=(3,2)+(2，4)=(1,6).,=arctan 6,例5.已知ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标。,解：,=(2,1)+(3,4)(1,3)=(2,2),所以D点的坐标是(2,2).,例6.已知A(2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标.,解：(1)求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M(，2),(2)因为=(1，3)(2，1)=(3，2),练习1.设向量a=(1,3)，b=(2,4)，c=(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为.,解：4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以d=6a4b+4c=(2,6).,2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量,设起始P(10,10),则5秒钟后点P的坐标为().,解：5秒种后，P点坐标为(10,10)+5(4,3)=(10,5).,3.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足(1)为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限,求的范围.,解:(1)设P(x,y)，则(x2,y3)=(3,1)+(5,7),所以x=5+5，y=7+4.,解得=,(2)由已知5+50,7+40,所以1.,课时小结:,2 加、减法法则.,a+b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),3 实数与向量积的运算法则：,a=(x i+y j)=x i+y j=(x,y),4 向量坐标.,若A(x1,y1),B(x2,y2),1 向量坐标定义.,则=(x2-x1,y2 y1),a-b=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2),归纳小结,1.1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式（也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理；22.向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门,1(1)两向量和的坐标等于；（2）两向量差的坐标；（3）实数与向量积的坐标；23.向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；,向量的模和方向也可以用表示向量的坐标来表示：（1）设=（x，y），则|=（2）在直角坐标平面内，以原点O为起点，以A（x，y）为终点的向量=，所以由点O指向点A 的方向就是向量 的方向；,拓展,
