概率（高职班）知识点梳理汇总.docx

概率(高职班)第01节事件与概率(一)基础知识梳理：1 O事件的概念：(D事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A,B,C,表示。(2)必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。(3)不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件(4)确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。(5)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。2 .随机事件的概率：(1)频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数A为事件A出现的频数，称/（八）=区为事件A出现的频率。n(2)概率：在相同的条件下，大量重复同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(4)。3 .概率的性质：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为O,随机事件的概率为OP()1,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形,4。事件的和的意义:事件A、B的和记作A+B,表示事件A和事件B至少有一个发生。5o互斥事件：在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P（八）+P(B)(A、B互斥).一般地：如果事件A，4,，A”中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A，A”彼此互斥，此时，P(A+4+4)=P（八）+P(4)+÷P(Aw)o6 .对立事件：事件A和事件B必有一个发生的互斥事件叫A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生.这时P(A+B)=P（八）+P(B)=1,即P(A+)=P（八）+P（八）=L当计算事件A的概手P（八）比较困难时，有时计算它的对立事件N的概率则要容易些,为此有P（八）=I-P（八）.7 .事件与集合：从集合角度来看，A、B两个曼件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.事件_A的对立事!牛入所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AUN=U,A入=0。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.(二)典型例题分析：例L将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定例2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个白球，都是白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球例3.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,和棋的概率为59%,则乙胜的概率为.(三)基础训练：1 .下列说法正确的是()A.任一事件的概率总在(O,1)内B.不可能事件概率不一定为OC.必然事件的概率一定是1D.以上均不对2 .某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%,则下面解释正确的是()A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨B.明天本地下雨的机会是80%C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨D.以上说法均不正确3 .箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有个坏灯泡。4 .对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：抽取台数50100200300500100O优等品数4692192285479950则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为(四)巩固练习：1 .把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对2 .下列四个命题中错误命题的个数是()(1)对立事件一定是互斥事件(2)若A,B是互斥事件，则P（八）+P(B)<1(3)若事件A,B,C两两互斥，则P（八）+P(B)+P(C)=1(4)事件A,B满足P（八）+P(B)=1,则A,B是对立事件A.OB.1C.2D.33 .抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”，事件B表示“所得点数大于4”，贝IJP(A+B)=.4 .某射手射击1次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,则这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为,至多射中6环的概率是第02节古典概型(一)基础知识梳理：1 .基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可表示成基本事件的和。2 .古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。(D试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。3 .古典概型的概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n,随机事件AYYl包含的基本事件数为m,那么事件A的概率定义为P（八）二'。n(一)典型例题分析：例L如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心的概率为，取到方片的概率是_取到红色牌的概率是一取到黑色牌的概率是例2.在15瓶饮料中，有5瓶己过保质期。从中任取1瓶,取到己过保质期饮料的概率是；若前三次取到的3瓶饮料都已过了保质期，则第四次取到已过保质期的饮料的概率是.例3.一个盒子里装有标号为1,2,3的3个小球，随机的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上的数字之利为偶数的概率。(1)小球的选取是有放回的；(2)小球的选取是无放回的。观察落地后的情形，求事件“出现一枚正面朝上,例4.将一枚质地均匀的硬币连掷三次,两枚反面朝上”的概率。（三）基础训练:1 .从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）2 .袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则取到1个红球，1个白球的概率是（）3 .在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）4 .有五条线段长度分别为1,3,5,7,9,从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）5 .甲乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）。则平局的概率为，甲赢的概率为o6 .若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，则点P（m,n）落在圆Y+y2=K内的概率是.7 .高一（1）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则恰有一名参赛学生是男生的概率是:至少有一名参赛学生是男生的概率是O8 .现有一批产品共有6件，其中5件为正品，1件为次品.（1）如果从中取出1件，然后放回，再取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取2件，求2件都是正品的概率.（四）巩固练习：1.（2013江西文）A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各任取一个数,则两数之和为4的概率是2.（2013课标文）从1,2,3,4中任取2个不同的数,则这两数之差的绝对值为2的概率是3. （2012安徽文10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(D)123（八）-(B)-(C)一5554. （2013重庆文）若甲乙丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.5. （2009安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是。6. （2009年广东文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位:Cm）,获得身高数据的茎叶图如图7.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.7.（2013山东文）某小组共有4B、C,。、E五位同学,他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82.体重指标19.225.118.523.320.9（I）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求2人身高都在1.78以下的概率（II）从该小组同学中任选2人,求2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9）中的概率8.（2009福建文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；，（三）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。第03节随机数与几何概型（一）基础知识梳理：1 .几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比，则称这样的概率模型为几何概型。2 .几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个：（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。3 .几何概型事件的概率计算公式：=构成事件A的区域长度（面积或体积）（，一实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（二）典型例题分析：例L取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于Im的概率是.例2.如图，在墙上挂着一块边长为16Cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm,某人在在3m外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中小圆内的概率是多少？（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？例3.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%,用随机模拟的方法来估计连续三次投篮中，恰有两次投中的概率.若我们用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。例如，产生20组随机数：812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556.则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为。例4.在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率乃的值.如果撒了100o个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中乃的估计值是.（三）基础训练：1.在50OmL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）2. 一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（）3 .某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10 分钟的概率是 。4 .在长为12Cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形，试求正方形面积介于36c/?2至IJ 81 cm?之间的概率是。5 .取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一粒豆 子，则豆子落入圆内概率是。6 .在AABC内任取一点P,则AABP与AABC的面积之比大于L时的概率为2（四）巩固练习：L （2013陕西理）如图，在矩形区域力阅9的4 C两点 处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是 扇形区域被和扇形区域W（该矩形区域内无其他 信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机 地选一地点，则该地点无信号的概率是（）2. （2012北京理2）设不等式组°"2',表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,0y2则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定3.（2008佛山一模理）如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A.7.68B,16.32C.17.32D.8.684.（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为概率(高职班)参考答案第01讲事件与概率(参考答案)(二)典型例题分析：BC18%.(三)基础训练：CB2000r95.(四)巩固练习：CD-0.52,0.13.3第02讲古典概型(参考答案)(二)典型例题分析：IJLj_L例Li,4,2,2例2.1,1.例3.提示：表格法。(1)-；(2)-.3693例4.解：(1)所有基本事件有：(正，Ifr五)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)共8个(2)“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了3个基本事件：(正，反，反)，(反,正，反)，(反，反，正)；(3)由古典概率的计算公式，事件”出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率是3.8(三)基础训练：1123252CADB,.8.提小：表格法.(1)；(2)o332d363(四)巩固练习：BBB-346.(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之间，而乙班身高集中于170:180之间。因此乙班平均身高高于甲班；_158+162+163+168+168+170+171+179+179+182(2)%=17010甲班的样本方差为:(158-170)2+(162-170)2+(163-1时+(168-170)2+(168-170+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2÷(179-170)2+(182-170)2=57(3)设身高为176Cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173Cm的同学有：(181,173)(181,176)(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,173)(178,176)(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件;7 .【答案】解：(I)从身高低于Lft)的冏学中任选2人,其一切可能的结果Ifl成的，本，件有：(A.B).(ArC).A.D).(B.C),(B.D)t(C.D).共6个.由于隼人被选到的机会均等,因此这些趋本事件的出现是等可修的.选到的2人身高标在1.78以下的件有：(46),(4C).(BC),共3个.因此选到的2人身高睇在1.78以下的概率为？=7l62(U)从谀小组同学中任选2人,其一切可能的结果编成的茶本，件有：(4.BY(4,C).(A,D).(4.£).(B.C)(8.P).(S.£).(C.D).(C.£),(d£),共W个.由于每个人被选到的机会均等.因此这些W件的出现是等可能的.选到的2人身高林在1.70以上且体值指标郁在(18523.9)中的事件有：(C,Dl(C,£),(D.£),共3个.因此选到的2人的身高郡在1.70以上且体指林在18.5,23.9)中的概率为8 .解：(D一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)(II)记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件有(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，共3个由(I)可知，所有基本事件总数为8,所以事件A的概率为P（八）='8第03讲随机数与几何概型(二)典型例题分析：例i!例3.25%例4.3.1043例2.记A=投标击中小圆内,B=投标而中大圆与中圆形成的圆环),C=投标击中大圆之外)正方形的面积为S=16?=256,小圆的面积为S×22=4,1中圆的面积为S=×42=16-,大圆的面积为S=x62=36乃。23JT所以(1)投中小圆内的概率是P(4)=；64(2)投中大圆与中圆形成的圆环的概率是P(B)=酗二=2649(3)投中大圆之外的概率是P(C)=64(三)基础训练：CB11£16444(四)巩固练习:ADB统计与概率高考解答题（1）1.（2010山东文）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，编号分别为1,2,3,4.（I）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求加+2的概率.2. （2012广东文17）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,“90,100.（1）求图中。的值；（2）估计这100名学生语文成绩的平均分；变式：估计这100名学生语文成绩的众数，3. （2011北京文）如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学W乙组的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在990X8图中以X表示.IIIQ（1）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差S?=（Xx）2+（工2x）2+（X”X）,）n4.（2011福建文19）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1.2.3.4.5.现从一批该口用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bC（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件,求a、b、c的值；（三）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x,X2,X3,等级系数为5的2件日用品记为y,yz,现从x,x2,x3,ny2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求这两件口用品的等级系数恰好相等的概率。5.（2013福建文）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样,的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2x2的列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？生产能手非生.产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计统计与概率高考解答题（1）答案«：（1丛盛中闷桃数两个球,其一切可能侬见H农的江不出件有JjDZJ和3总和4,2和附.2n(nny-fli2r)O.10.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.8281.63-口先从袋中M机取一个球,记下捻号为放回后再从袋中随机取一个球，记下境号为舞,其一切可能的结果Gn5有I（4,1，（4,2）,4,3，（4,4共Iy又满足条件”Nm+2的不件为。.共3个.所以满足条件nm+2的事件的概率为P1«=条故满足条件Vm+2的印件的概率为1一凡-I-W=I2.(1)依题意得，10(20+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005°(2)这100名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73(分)。3 .解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,所以平均数为1=8+8+9+1°二史I史史笠U44444416(II)记甲组四名同学为A,A2,A3,A1,他们植树的棵数依次为9,911,11；乙组四名同学为R,B2,Bb,B1,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(Ai,Bi)>(A,Bz),(Ai,Ba)»(Ai,B)»(A2,B)»(A2>B2)>(A2,Bs)>(A2>Bq),(A3,Bi),(A2,B2),(A3,Ba)»(Ai»Bi)»(AoBi),(Aj,B2)>(A,B3)>(A»»Bi),用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，41它们是：(Ai,B)(板,B1),(A3,B2),(A,B2),所求概率为P(C)=一.1644 .解：由频率分布表得4+0.2+0.45+6+c=l,即a+b+c=O.35,因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，3所以6=3=0.15,202等级系数为5的恰有2件，所以c=*=0.1,20从而。=0.35匕一。=0.1所以。=0.1,8=0.15,。=0.1.(II)从日用品百,巧,凹,必中任取两件，所有可能的结果为：x1,x2,xpx3),x1,y1,x1,y2,x2,x3,x2,y1,x2,y2,x3,y1,x3,y2,y1,y2,设事件A表示“从日用品玉,/3，凹，力中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：不/，石，七，孙工3，弘，、2共4个，4又基本事件的总数为10,故所求的概率P（八）=0.4.5 .解：（I）.由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60X005=3（人），记为4,A2,%;25周岁以下组工人有40x0.05=2（人），记为旦，B2从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,他们是：（A,a2）,（A，4）,（4,4）,（A再），（4，修），（4,耳），（4，4），（4出），（4出），（旦也）其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们7是：（A，耳）,（A，%），（4闰），（4也），（演即,（怎为），（用也）.故所求的概率：p=77（三）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60x0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手40x0.375=15（人），据此可得2x2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100n(ad-bey(+b)(c+d)(a+c)(b+d)IoOX(15x25-15x45)22560×40×30×7014因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”