数列 知识点梳理专题练习题.docx

数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为4-%=102)或4+1_%=d(/1)。例：等差数列=2-1,an-an_x=题型二、等差数列的通项公式：an=ai+(n-1)di说明：等差数列(通常可称为AP数列)的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列。例：L已知等差数列%中，a1+a9=69a4=1,则。口等于()A.15B.30C.31D.642. 凡是首项q=l,公差d=3的等差数列，如果=2005,则序号等于（八）667(B)668(C)669(D)6703.等差数歹U4=21,2=-2+1,则明为b“为(填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果,A,人成等差数列，那么A叫做。与b的等差中项。其中A="22，A，b成等差数列=A=即：2an+i=an+an+2(2an=an_m+an+m)例：L设,是公差为正数的等差数列，若q+%+%=15,44%=8()，则4+42+q3=()A.120B.105C.90D.752.设数列q是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是().1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：(1)在等差数列,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2)在等差数列q中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列中，对任意2,n2V+,an=am+(n-m)d,J=(m/?)；n-m(4)在等差数列中，若m,n,p,qN+且2+=+q,则金+。=%,十4；题型五、等差数列的前"和的求和公式：SI=返=妁tDd=In2+(4_)。2222(Sn=An2+Bn(A,3为常数)=>%,是等差数列)递推公式：Stt 二(q +an)n _ (am +例：1.如果等差数列4t中，a3+a4+a5=2,那么q+生+.+/(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352 .设S“是等差数列j的前n项和，已知的=3,七="，则S?等于()A.13B.35C.49D.633 .已知%数列是等差数列，o=l,其前10项的和Sg=70,则其公差d等于()A2n1Cl2A.B.C.-D.-33334 .在等差数列%中，4+%=10,则%的值为()（八）5(B)6(C)8(D)105 .若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项6 .已知等差数列%的前几项和为S，若S2=21,则%+为+必+%=7 .设等差数列atl的前项和为SII,若=5%则今=8 .设等差数列q的前项和为S,若Sg=72,则%+4+的=9,设等差数列al的前n项和为,若%=邑=12,则氏=10 .已知数列Zd是等差数列，Zz1=I,仇+&+b(F100.,则后S11 .设a为等差数列，S为数列&的前项和，已知S=7,5.5=75,。为数列二L的前项n和，求。12 .等差数列4的前项和记为S“，已知o=3O,20=5。求通项明；若S”二242,求13 .在等差数列叫中，(1)已知Sg=48,$2=168,求Ol和d；(2)已知4=1。同=5,求和S&；已知。3+。15=40,求S17题型六.对于一个等差数列：S(1)若项数为偶数，设共有2项，则5偶一S奇=d；上二2；3网（2）若项数为奇数，设共有2九一1项，则S奇一S偶=勺=4中；。里=2S偶n-题型七.对与一个等差数列，S“，S2“一S“，S3”§2“仍成等差数列。例：1.等差数列a的前加项和为30,前2卬项和为100,则它的前3/项和为（）A.130B.170C.210D.2602 .一个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为o3 .已知等差数列4的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为则S/.4 .设S为等差数列%的前项和，54=14,S10-S7=30,5 .设S是等差数列&的前项和,3 A.101B.- 31 D.-9题型八.判断或证明个数列是等差数列的方法:定义法：%+。=或常数）（"N"）=%是等差数列中项法：2an+t = an + an+2（ N'） = 4*是等差数列通项公式法：4=kt + b（Zs为常数）=>4是等差数列前项和公式法：= An2 + Bn （AB为常数）n %是等差数列 例：1.己知数列%满足4-%t=2,则数列%为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2 .己知数列%的通项为。 =2 + 5,则数列%为（）A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .已知一个数列。“的前n项和 =2/+4,则数列凡为（）A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列4 .已知一个数列册的前n项和S“ = 2/,则数列“为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列5 .已知一个数列%满足an+2 - 2a,+l += 0 ,则数列/为（A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列6 .设S是数列4的前/7项和，且即2,则a是（）D.无法判断D.无法判断）D.无法判断A.等比数列，但不是等差数列C.等差数列，而且也是等比数列B.等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列7.数列满足4=8,4=2，且。+2-2。“+%=0("N*)求数列4“的通项公式;题型九.数列最值（1） q>0,d<0时，Sn有最大值；al<0,d>0时，S,有最小值；（2） S“最值的求法：若已知S”，S“的最值可求二次函数S=。/+加的最值;可用二次函数最值的求法(N+);或者求出%中的正、负分界项，即：若已知%,则5“最值时的值(N+)可如下确定!"一或"一oI川0IaMO1 .设4(N4)是等差数列，S是其前项的和，且&V&,&=S>&,则下列结论埼识的是()A.dVOB.a7=OC.S9>S5D&与S7均为S“的最大值2 .等差数列%中，1>0,S9=S12,则前项的和最大。3 .已知数列”“的通项一廿("ND,则数列为的前30项中最大项和最小项分别是-994 .设等差数列/的前项和为S“，己知a3=12,512>0,S13<O求出公差d的范围，指出号，S2,S2中哪一个值最大，并说明理由。5 .已知Q,J是等差数列，其中4=31,公差4=一8。(1)数列/从哪项开始小于0?(2)求数列/前项和的最大值，并求出对应的值.6 .已知,J是各项不为零的等差数列，其中4>0,公差dv,若SK)=0,求数列%前项和的最大值.7 .在等差数列/中，1=25,S17=S9,求S”的最大值.题型十.利用/ =«5 = 1)52)求通项.1 .设数列%的前n项和S“=n2,则/的值为()(A) 15(B) 16(C)49(D) 642 .已知数列凡的前项和S.=/-4+1,则3 .数歹J%的前项和S,=+.(1)试写出数列的前5项；(2)数列6是等差数列吗？(3)你能写出数列q的通项公式吗？4 .已知数列凡中，q=3,前和S“=(n+l)+l)-l求证：数列j是等差数列求数列%的通项公式等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第三项举，每一项与它的前一项的比等于同一个第裂，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母夕表示(qw),即：fl+1:an=q(qO).一、递推关系与通项公式递推关系：an+l=aq通项公式：a=aiqnx推广：att=amq',m1 .等比数列a中，=8,h=64,则公比q为()（八）2(B)3(C)4(D)82 .在各项都为正数的等比数列J中，首项q=3,前三项和为21,则出+/+4=<)A33B72C84D1893 .在等比数列q中，=4,4=2,则=4 .在等比数列an中,a7=129q=肛,则19=.5 .在等比数列”中，a2=-2,5=54,则6=二、等比中项：若三个数,"c成等比数列，则称人为。与，的等比中项，且为人=±疝，注：h2=Qe是成等比数列的必要而不充分条件.1 .2+JJ和26的等比中项为()（八）I(B)-I(C)±1(。)22 .设4是公差不为O的等差数列，4=2且4，%,。6成等比数列，则q的前项和S”二(n2Inc5Cn23rx2A.÷B.+C.+D.n+n443324三、等比数列的基本性质,1) (1)若/M+=p+q,则(其中孙p,qN*)2) )qnm=,an2=an.,j+m(nTV*)am3) )4为等比数列，则下标成等差数列的对应项成签比数列.(4) 4既是等差数列又是等比数列。%是各项不为零的常数列.1 .在等比数列q中，和°是方程2f+5x+l=0的两个根,则%=()（八）-(8)坐(。)-2(D)I22222 .等比数列qj的各项为正数，且仁心+4%=18,则Iog3%+log32+log3%o=()A.12B.10C.8D.2+Iog353 .已知等比数列4满足%>0,=1,2,且%t=22"53),则当"1时，Iog2t1+log2a3+log22rt-1=()A.n(2n-)B.(n+l)2C.n2D.(-l)24 .在等比数列4,已知q=5,a9aQ=100,则。用=5 .在等比数列“中，6+4=33,a3a4=32,an>an求明若Tn=lg1+Ig%+Ig%，求TJ四、等比数列的前n项和,na(4=1)Sli=«q(j")=可一a“q(q1)-q-q例：1 .设/5)=2+24+27+2K)+23+H)SN),则/()等于()2222A.-(8,-l)B.-(8n+,-l)C.-(8,+3-l)D.-(8m+4-1)77772 .己知等比数列%的首相q=5,公比夕=2,则其前n项和S”=3 .已知等比数列七的首相q=5,公比q=g,当项数n趋近与无穷大时，其前n项和5“4 .设等比数列qJ的公比为q,前n项和为Sn,若Sm,Sn,&.2成等差数列，则q的值为5 .设等比数列“的前n项和为S”，己。2=6,6+%=30,求凡和工6 .设等比数列4的前项和为S,若W+W=2S,求数列的公比s五.等比数列的前n项和的性质若数列“是等比数列，S是其前n项的和，AeN*,那么Sjt,S2,-5.,SblSzr成等埋数歹人1设等比数列6的前n项和为S“，若3=3,则=（）>3d678A.2B.-C.-D.3332 .一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为（）A.83B.108C.75D.633 .已知数列4是等比数列，且S,=1O,S2m=30,WJ53w=4 .等比数列的判定法（1）定义法：%包=9（常数）=>%为等比数列；an（2）中项法：aliJ=ana20）n0为等比数列；（3）通项公式法：a,=kq"伏国为常数）=>凡为等比数列；（4）前项和法：SLk（I-q）（七夕为常数）=/为等比数列。Sn=Iqn（七夕为常数）=“为等比数列。例：1.己知数列%的通项为*=2",则数列%为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2 .已知数列凡满足a”/=4./+2（atlO）,则数列%为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .已知一个数列%的前n项和%=2-2向，则数列%为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断(n = 1)求通项. 52)S15.利用4=|3“一>求的 央，国的值及数列a的通例：1.数列&的前项和为S,且a=l,a+i=；S，=lf2,3,项公式.2.已知数列4的首项4=5,前几项和为5“，且Se=S“+5(eN*),证明数列4+1是等比数歹J.