五节隐函数求导公式.ppt

,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、隐函数存在定理简介,隐函数：,由方程所确定的函数.,隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件，并有,1.一个方程的情形,例 验证方程,在点,能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,解,设,则,由定理1得：,方程,在点,的某邻域内能确定一个有连续导数、当,时,的隐函数,的某邻域内,隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有,(2),2、方程组的情形,隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：,的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件,并有,方程组,(3),下面，总假设隐函数存在且可导，,在此前提下来讨论,求隐函数的导数或偏导数的方法。,1、一个方程的情形,(1),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求导,得,+,=,0,二、隐函数的求导法,(2),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求偏导,得,+,=,0,+,等式两端同时对 y 求偏导,得,+,=,0,+,(3),设该方程确定了函数:,即,等式两端同时对 x 求偏导,得,+,=,0,+,类似可得,+,解,=,=,例2,解,（1）,设,=,=,=,=,（2）,=,=,=,=,注意,2.方程组的情形,设该方程组确定了,方程组两端同时对 x 求导，得,+,+,+,+,即,+,+,=,=,设该方程组确定了:,方程组两端同时对 x 求偏导，得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,=,=,同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得,+,+,+,+,即,+,+,+,+,=,=,例3,解,+,+,+,=,0,+,+,+,=,0,即,+,=,+,=,解得,=,=,=,=,例4,解,+,(,=,0,+,=,0,即,+,=,+,=,+,),解得,=,=,=,=,方法：,由,可确定,(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得,(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得,(*),又,=,=,，,例5,在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)；,例6 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又,(2)求反函数u=u(x,y)，v=v(x,y)对x,y的偏导数.,由隐函数存在定理3，得,(1)证,在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y).,它们是 x=x(u,v),y=y(u,v)的反函数。,设方程组(#):,(2)解,等式两边同时对 x 求偏导，得,确定了函数 u=u(x,y)，v=v(x,y),即,=,=,作业,P892,4,6,7,9,10,11,