《反函数的求导法则》PPT课件.ppt

二、反函数的求导法则,定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且,简要证明,由于xf(y)可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续,当x0时 y0 所以,详细证明,下页,例6 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例5 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,首页,三、复合函数的求导法则,定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为,简要证明,则Du0 此时有,假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数,详细证明,下页,解,复合函数的求导法则:,例7,下页,解,复合函数的求导法则:,例9,解,例8,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如 设yf(u)u(v)v(x)则,下页,例10,复合函数的求导法则:,例11,解,解,首页,四、基本求导法则与导数公式,基本初等函数的导数公式,(1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex,下页,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1)(u v)=u v(2)(Cu)=Cu(C是常数)(3)(uv)=uv+u v,下页,即(sh x)ch x 类似地 有(ch x)sh x,例12 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数.,解,例13 求双曲正切th x的导数.,解,下页,例14 求反双曲正弦arsh x的导数.,解,结束,例15 ysin nxsinn x(n为常数)求y,n sinn1xsin(n+1)x,ncos nxsinn x+n sinn1xcos x,(sin x),nsinn1x,+sin nx,sinn x,ncos nx,+sin nx(sinn x),(sin nx)sinn x,解,y,