《压电方程组》PPT课件.ppt

,1,压电方程组,压电晶体的切割边界条件和四类压电方程组各类压电方程组常数之间的关系二级压电效应,2,压电晶体的切割,通过前几节有关压电常数的讨论使我们了解到，不是压电晶体的任何方向都存在压电效应，而只有某些特定的方向才存在压电效应。,3,压电晶体的切割,例如，石英晶体，如果选择了与z轴垂直的方向切下一块晶片（即晶片的厚度方向与z轴平行），无论对此晶体作用什么力，都不能在z轴方向产生压电效应。如果选择了与x轴垂直的方向切下一块晶片，则当应力T1、T2或T4作用时，在x方向能产生压电效应。,4,因此，用压电晶体做压电元件时，不是随便从晶体上切下一块晶片，就可以做成所需要的元件，而是要根据压电晶体的压电常数，以及对压电元件性能的设计要求，并经过反复实验后，才能找到较合适的方向进行切割。,5,切割符号的规定,x、y、z代表晶体的三个坐标轴，l、w、t代表晶片的长度、宽度、厚度。例如：xy切割表示晶片的厚度与x轴平行，长度与y轴平行（即第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向）。又如：xz切割表示晶片的厚度与x轴平行，长度与z轴平行。也有把xy切割和xz切割简称为x切割。,length,width,thickness,6,图4-13 晶片切割示意图,XY-切割XY-cut,XZ-切割XZ-cut,YZ-切割YZ-cut,7,图4-13 晶片切割示意图,YX-切割YX-cut,ZX-切割ZX-cut,ZY-切割ZY-cut,8,一次旋转切割,yzw-50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕宽度沿顺时针方向旋转50，即即第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向，第三个字母代表转轴方向，-50代表沿顺时针方向旋转50。xyt+45切割，表示厚度方向平行于x轴，长轴平行于z轴，并绕厚度沿逆时针方向旋转45，有时简称这种切割为45x切割。,9,yzw-50切割yzw-50 cut,xyt+45切割xyt+45 cut,10,二次旋转切割,yzlt40/50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕长度沿逆时针方向旋转40，再绕厚度沿逆时针方向旋转50。,yzlt+40/50cut,11,酒石酸钾钠晶体的切割,酒石酸钾钠晶体NaKC4H4O6-4H2O（即罗息盐）属于正交晶系222点群，它的压电常数为,12,当电场E=0时，电位移D与应力张量之间的关系为：,13,当应力为零时，电场E与应变张量之间的关系为,14,可见当酒石酸钾钠晶体分别受到应力X4、X5或X6的作用时，将分别在x方向、y方向或z方向产生压电效应。对于x切割的酒石酸钾钠晶片，要它在x方向出现正压电效应时，必须使晶片受到切应力X4的作用。实际上要在晶体上作用一个切应力是比较困难的，所以用x切割的晶片通过D1=d14X4关系式来测定压电常数d14是不方便的。,15,其次当x切割的晶片受到x方向的电场E1作用时，通过逆压电效应，晶片产生切应变x4，而不能产生身长缩短的应变。为了得到能产生伸缩振动的晶片，生产上常采用45x切割。从图4-14看出：（1）45x切割是利用晶片的切应变转为沿长度方向的伸缩应变。（2）45x切割的长度与宽度不在和晶体的y轴与z轴平行。,16,图4-14 酒石酸钾钠的45x切割,17,坐标变了，不能直接使用（4-18）式来描写45x切割晶片的压电行为，需要对压电常数进行坐标变换，求出压电常数在新坐标系中的矩阵表示式。在新坐标系中的压电常数矩阵为,18,新坐标系中的压电常数矩阵,19,即新坐标系中的压电常数与旧坐标系中的压电常数之间的关系为,20,如果45x切割晶片只受到y方向（即长度方向）的应力X2作用时，在x方向产生的电位移D1为，,21,可见通过D1=d14X2/2来测定压电常数d14时，只需要用张力或压力，这就比通过D1=d14X4来测定压电常数d14方便的多。实验上，常用45x切割的晶片来测定酒石酸钾钠晶体压电常数d14；用45y切割的晶片来测定d25；用45z切割的晶片来测定d36。,22,这些压电常数的数值为：d14=34510-12库仑/牛顿 d25=-5410-12库仑/牛顿d36=1210-12库仑/牛顿,23,石英晶体的切割,石英晶体的z轴是光轴，z切割晶片在z方向无压电效应。x切割是最早采用的切割，x 切割的晶片，频率温度系数约为-3010-6/度左右，还不够理想。y切割的晶片，频率温度系数较高，约为10010-6/度左右。因此生产上很小采用y切割的晶片。目前生产上广泛采用的切割方式，如图4-15所示。,24,25,图4-15 常见的石英晶体切型,26,这些切割的温度系数，在较广的温度范围内接近于零。在高频方面的常用切割有:AT切割（=3515）适用于250kHz3MHz；BT切割（=-49）适用于3MHz以上；,27,在低频方面的常用切割有：CT切割（=3836）适用于100kHz400kHz；DT切割（=-51）适用于70kHz500kHz；ET切割（=66）适用于250kHz800kHz；FT切割（=-57）适用于200kHz600kHz；GT切割适用于100kHz500kHz；,28,钛酸钡z切割晶片的压电方程,晶体的介电性质所遵从的电学规律，要用电位移D（极化强度P）与电场E之间的关系式来描写。,29,晶体的弹性性质所遵从的力学规律，要用应力张量X与应变张量x之间的关系式广义胡克定律来描写。,或,30,同样，压电晶体的压电性质所遵从的机电规律，要用电位移D，电场强度E，应力张量X，应变张量x之间的关系压电方程来描写。下面先以钛酸钡晶体的z切割为例，进行分析讨论。然后推广到一般情况下的压电方程。,31,实际生产上常使用的压电元件的形状，大多数是薄长片或薄圆片等简单形状。又因为钛酸钡压电常数d310，所以可选择钛酸钡zx切割晶片为例。这样切割的晶片，长度l沿x方向，厚度lt沿z方向和宽度lw沿y方向。即晶片的坐标轴与晶体的坐标轴一致。,32,图4-16 钛酸钡zx切割的晶片示意图,33,因为晶片的长度l宽度lw和厚度lt，长度是主要矛盾，故只要考虑x方向的应力T1的作用，其它应力分量X2、X3、X4、X5、X6可以忽略不计；因为晶片的电极面与z面垂直，故只要考虑电场E3的作用，其它电场分量E1、E2可以忽略不计。,34,现在只考虑在应力X1和电场E3作用下晶片的形变。当电场E3=0，应力X10时，晶片在应力X1作用下产生的弹性形变为，,弹性柔顺常数sE11的上标E表示电场E=0（或E为常数），即sE11代表E=0的弹性柔顺常数，故称短路弹性柔顺常数。,35,当电场E30，应力X1=0时，晶片在电场E3的作用下通过逆压电效应产生的压电应变为，,36,当电场E30，应力X10时，晶片在应力X1和电场E3的作用下，产生的应变应该是弹性应变和压电应变之和，即,37,在应力X1和电场E3作用下晶片的电位移：当电场E30，应力X1=0时，晶片在电场E3的作用下产生的介电电位移为,介电常数X33的上标X表示应力X=0（或X为常数），即X33代表X=0（或X为常数）时的介电常数，称为机械自由介电常数。,38,当电场E3=0，应力X10时，晶片在应力X1作用下通过正压电效应产生的压电电位移为，,当电场E30，应力X10时，晶片在应力X1和电场E3的作用下，产生的电位移应该是介电电位移与压电电位移之和，即,39,最后得到钛酸钡晶体zx切割晶片的压电方程为（以应力X和电场强度E为自变量）：,上被称为第一类压电方程组。,40,第一类压电方程组,一般形式为,矩阵形式为,d：压电应变常数,压电位移器要求高d常数原子力显微镜,41,这个方程组的特点在于以应力X、电场强度E为自变量，应变x、电位移D为因变量；即认为应变x、电位移D的变化是由应力X、电场E变化引起的。式中还包括了短路弹性柔顺常数sE11，自由介电常数X33以及压电常数d31。,42,边界条件 boundary conditions,通常测量样品的频率特性（谐振频率和反谐振频率）时，晶片的中心被夹住，晶片的边界却处于机械自由状态。这时边界上的应力X|边界=0，应变x0，这样的边界称为机械自由边界条件，或称边界自由条件。,43,但是应该注意，边界自由条件只表示样品在边界上的应力为零，样品内的应力一般情况下并不等于零，只有在低频情况下，样品内的应力才接近于零，所以在边界自由和低频的条件下，测得的介电常数才是（机械）自由介电常数X33。,44,若测量电路的电阻远小于样品的电阻，则可认为外电路处于短路状态，这时电极面上没有电荷积累，样品内的E=0（或为常数）。这样的电学边界条件称为（电学）短路边界条件。在短路条件下测得的弹性柔顺常数才是短路弹性柔顺常数sE11。,45,其它边界条件,例如测量时，样品的边界被刚性夹住，这时边界上的应变x|边界=0，应力X0，这样的边界条件称为机械夹住边界条件，或称边界夹住条件，或者边界夹持条件。也应注意，边界夹持条件，只是表示样品在边界上的应变为零，样品内的应变一般情况下并不等于零，只有当频率非常高的情况下，样品内的应变才接近于零，所以在非常高的频率下测得的介电常数才是夹住介电常数xmn。,46,若测量电路的电阻远大于晶片的内电阻，则可认为外电路处于开路状态，这时电极面上自由电荷保持不变，样品内的电位移D为常数（或D=0）。这样的电学边界条件称为（电学）开路边界条件，简称开路条件。在开路条件下测得的弹性柔顺常数才是开路弹性柔顺常数sDij。,47,四个边界条件：机械边界条件有两种,即:边界自由条件,边界夹住条件;Free and clamped电学边界条件也有两种,即:短路条件,开路条件。Short and open,48,从二种机械边界条件和二种电学边界条件中各选一种，就可组成四类不同的边界条件：（1）机械自由和电学短路条件；（2）机械夹持和电学短路条件；（3）机械自由和电学开路条件；（4）机械夹持和电学开路条件。,49,对于不同的边界条件，为了运算方便，就必须选择不同的自变量。例如，当边界条件为边界自由条件和短路条件时，以选应力张量X和电场强度E为自变量，应变张量x 和电位移D为因变量较方便，相应的压电方程组就是第一类压电方程组。与其它各类边界条件相适应的自变量与压电方程组如下。,50,第二类压电方程组,如果在测量上述z切割的钛酸钡晶片时，在晶片长度的两端被刚性夹具所夹住，即边界上应变x=0，应力X0；而且外电路的电阻远小于晶片内的电阻，在电极面上无电荷积累，即电压保持不变（或E=常数），电位移D常数。这时晶片的边界条件为机械夹持和电学短路条件。,51,在此边界条件下，以选应变张量x和电场强度E为自变量，应力张量X和电位移D为因变量较方便。相应的第二类压电方程组为,52,式中:cE11=(X1/x1)E称为短路弹性刚度常数，是在外电路为短路的条件下，测得的弹性刚度常数；E33=(D3/E3)x称为机械夹持介电常数，是在机械夹持条件下，测得的介电常数。,53,e31称为第二类压电常数（也称压电应力常数）。它的意义为：e31=(D3/x1)E为在短路条件下，由于晶片沿x方向应变x1的变化，引起沿z方向电位移的变化与应变x1的变化之比。或者：e31=-(X1/E3)x为机械夹持条件下，由于沿z方向电场强度E3的变化，引起沿x方向应力X1的变化与E3变化之比。负号表示电场强度E3增加时，应力X1变小。,54,第二类压电方程组,一般形式为,矩阵形式为,e:压电应力常数,55,第三类压电方程组,当边界条件为机械自由和电学开路的情况下，以选应力张量X和电位移D为自变量，应变张量x和电场强度E为因变量比较方便，相应的第三类压电方程组，,56,式中：sD11=(x1/X1)D称为开路弹性柔顺常数，是在外电路为开路的条件下，测得的弹性柔顺常数；X33=(E3/D3)X称为自由介电隔离率，它等于自由介电常数X33的倒数，即X33=1/X33，是在机械自由条件下，测得的介电隔离率，或介电常数的倒数1/X33。,57,g31称为第三类压电常数，也称压电电压常数。它的意义为：g31=(x1/D3)X为在机械自由条件下，由于晶片沿z方向电位移D3的变化，引起沿x方向应变x1的变化与D3变化之比。或者g31=-(E3/X1)D为开路条件下，由于沿x方向应力X1的变化，引起沿z方向电场强度E3的变化与X1变化之比，负号表示应力X1增加时，电场强度E3变小。,58,第三类压电方程组,一般形式为,矩阵形式为,g:压电电压常数,压电点火器要求高g常数,59,第四类压电方程组,当边界条件为机械夹持和电学开路的情况下，以选应变张量x和电位移D为自变量，应力张量X和电场强度E为因变量比较方便，相应的第四类压电方程组，,60,式中：cD11=(X1/x1)D称为开路弹性刚度柔顺常数，是在外电路为开路的条件下，测得的弹性刚度常数；x33=(E3/D3)x称为夹持介电隔离率，它等于夹持介电常数x33的倒数，即x33=1/x33，是在机械夹持条件下测得的介电隔离率，或介电常数的倒数1/x33。,61,h31称为第四类压电常数（也称压电刚度常数）。它的物理意义为：g31=-(X1/D3)x为在机械夹持条件下，由于沿z方向电位移D3的变化，引起沿x方向应力X1的变化与D3变化之比，负号表示电位移D3增加时，应力X1变小。或者h31=-(E3/x1)D为电学开路条件下，由于沿x方向应变x1的变化，引起沿z方向电场强度E3的变化与x1变化之比，负号表示应变x1增加时，电场强度E3变小。,62,第四类压电方程组,一般形式为,矩阵形式为,h:压电刚度常数,63,旋转坐标系中的压电方程组,前面介绍的压电方程组是在主轴坐标系中的压电方程组,介电常数,弹性常数和压电常数都是在主轴坐标系中的数值。这些数值可以在相关手册中查到。但是实用的压电晶片所处的坐标系（一般以晶片的长、宽、厚为坐标轴）与主轴坐标系不同。,64,以第一类压电方程组为例介绍如何得到旋转坐标系中的压电方程组，其它压电方程组的变换类似。,65,变换矩阵,坐标变换：,电学量变换：,力学量变换：,66,67,68,例：绕x轴旋转后的-石英晶体的第一类压电方程组,69,介电常数,70,式中：,71,弹性常数,72,变换矩阵N,73,74,式中：,75,压电常数,76,式中：,77,新坐标系中的压电方程组为,78,压电方程组常数之间的关系,由于自变量不同，共得到了四类压电方程组，都是晶体的压电性质所遵从的规律，因此它们之间不是互相不相关的，而是存在一定的联系。这个联系一定会在各压电方程组的常数之间反映出来。就是说，各压电方程组的常数之间存在一定的关系。,79,在四类压电方程组中有：（1）反映压电晶体弹性性质的常数，如sE11、sD11和cE11、cD11等机械参量；（2）反映压电晶体介电性质的常数，如x33、X33和x33、X33的等电学参量；（3）反映压电晶体压电性质的常数，如d31、e31、g31、h31等机电参量。,80,由第一类压电方程组（4-23）式中的第一式可得：,81,再将此式代入第一类压电方程组（4-23）式中的第二式可得：,82,整理得：,第二类压电方程组,83,将此两式与第二类压电方程组（4-24）式比较可以得到:（1）cE11=(sE11)-1这表明z切割的钛酸钡晶片的开路弹性刚度常数cE11为开路弹性柔顺常数sE11的倒数。,84,（2）e31=d31(sE11)-1=d31cE11这表明z切割的钛酸钡晶片的第二类压电常数e31为第一类压电常数d31与短路弹性刚度常数cE11的乘积，或第一类压电常数d31为第二类压电常数e31与开路弹性柔顺常数sE11的乘积。,85,（3）x33=X33-d31(sE11)-1d31=X33-e31d31 或X33-x33=e31d31这表明z切割的钛酸钡晶片的自由介电常数X33与夹持介电常数x33之差等于e31与d31只乘积。采用上述类似的方法，可进一步得到诸常数之间的关系如表4-2所示。,86,表4-2 钛酸钡z切割晶片各常数之间的关系式,87,次级压电效应,为了进一步说明介电常数X33与x33之间以及弹性常数sE11与sD11之间的差别是什么因素造成的，这里首先要介绍二级压电效应。二级压电效应又称为次级压电效应。Secondary piezoelectric effect,88,当z切割钛酸钡晶片只受到应力X1的作用时，作为弹性介质它将产生弹性应变x1(1)，即,作为压电晶体，X1还将通过正压电效应（即第一次压电效应），产生压电电场E3，即,而压电电压将再通过压电效应（即第二次压电效应），使晶片又产生一个附加的压电应变x1(2),89,可见附加的压电效应是由于对同一晶片考虑了第二次压电效应的结果，常称为二级压电效应（第一次压电效应称为一级压电效应）。,90,同样，当晶片只受到电场E3的作用时，作为电介质它将产生极化，相应的电位移D3(1)为,作为压电晶体，E3还将通过逆压电效应（一级压电效应），产生压电应变，x1即,而压电应变将再通过正压电效应（二级压电效应），使晶片又产生一个附加的压电电位移D3(2)，,91,可见附加的压电电位移也是二级压电效应。以上讨论了二级压电效应，要不要再讨论三阶以上的压电效应？因为二级压电效应比一级压电效应小得多，三级压电效应比二级压电效应小得多，所以一般情况下不再需要考虑三级以上的压电效应。,92,夹持介电常数与自由介电常数,一般电介质不存在压电效应，因此介电性质与机械性质无关，即有X33=x33=33。可见对于非压电体，只要用介电常数ij来描写介电性质就够了。但是对于压电体，其介电性质与机械条件有关，所以存在夹持介电常数x33与自由介电常数X33之别。所谓机械“夹持”是晶体被刚性夹具夹住，不论在多大电场作用下，都不能使晶体产生形变。,93,Clamped（夹持 夹住 夹紧）,这时电场对压电晶体的作用，只能使之产生介电极化，而不能通过二级压电效应产生附加的压电极化。也就是说在机械夹持的条件下，电场在压电体中所引起的作用与它在一般电介质所起的作用相同。机械夹持状态下相应的电位移为：,94,Mechanical free,所谓机械“自由”是压电体处于自由状态。这时压电体在电场的作用下，可以产生自由形变，因此电场在压电晶体中的作用，除了使晶体产生极化外，还能通过二级压电效应使之产生附加的压电极化。也就是说在机械自由的条件下，电场在压电体中所起的作用要大于它在一般非压电体中的作用。,95,可见自由介电常数X33与夹持介电常数x33的差别是由于二级压电效应造成的。,在机械自由条件下，相应的电位移为：,故得：,96,数值举例如下：钛酸钡晶体（25C）：X33=168，x33=109，故有X33-x33=59；铌酸锂晶体：X33=30，x33=29，故有 X33-x33=1；钛酸钡陶瓷：X33=1700，x33=1260，故有X33-x33=440；PZT-4陶瓷：X33=1300，x33=635，故有X33-x33=665。,97,短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11,一般弹性介质不存在压电效应,弹性性质与电学边界条件无关,因此即有sE11=sD11=s11。可见对于非压电体只要用弹性柔顺常数sij来描述弹性性质就足够了。但是对压电体，由于存在压电效应，压电体的弹性性质与电学边界条件有关，所以存在短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11的差别。,98,Short circuit,所谓“短路”是测量电路的电阻远小于晶体内电阻，外电路可以认为是短路。在此情况下压电晶体在应力的作用下，通过正压电效应（即一级压电效应）产生的电荷，不可能在电极面上积累，因而不会改变晶体内的电场分布（即E为常数，或E=0）。这时应力对压电晶体的作用，只能使之产生弹性形变，而不能通过二级压电效应产生附加的压电形变。,99,也就是说在短路条件下，应力在压电体中所起的作用与它在一般弹性介质中所起的作用相同，相应的应变是，,100,Open circuit,所谓“开路”是测量电路的电阻远大于晶体内电阻，外电路可以认为是开路。在此情况下压电晶体在应力的作用下，通过正压电效应（即一级压电效应）在电极上产生的电荷，不会流走，即晶体的电位移为常数，但晶体内的电场在变。,101,因此，应力在压电晶体中所起的作用，除了使晶体产生弹性应变x1(1)=sE11X1外，还能通过二级压电效应使晶体产生附加的压电应变S1(2)=-g31d31X1，负号表示压电应变的作用使晶体的形变变小。,102,可见短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11的差别，也是由于二级压电效应造成的。,这时（开路）总应变为：,故得：,103,压电增劲效应,其次从sE11 sD11还可看出：压电效应对晶体弹性的影响是使晶体的弹性柔顺常数变小，或者说使弹性柔顺常数变小。即：施加同样的外应力，短路的情况下晶体的形变变大，或者开路的情况下晶体的形变变小。这一效应又叫做压电增劲效应。具体材料的弹性常数数值举例如下：,104,钛酸钡晶体（25C）：sE11=8.0510-12（米）2/牛顿，sD11=7.2510-12（米）2/牛顿，故有：sE11-sD11=0.8010-12（米）2/牛顿；钛酸钡陶瓷：sE11=9.110-12（米）2/牛顿，sD11=8.710-12（米）2/牛顿，故有：sE11-sD11=0.4010-12（米）2/牛顿；PZT-4陶瓷：sE11=12.310-12（米）2/牛顿，sD11=10.910-12（米）2/牛顿，故有：sE11-sD11=1.410-12（米）2/牛顿。,105,小结,压电晶体的切割:符号及常见切型四类边界条件和压电方程组四类压电方程组常数之间的关系二级压电效应以及对材料参数的影响,