《单位脉冲函数》PPT课件.ppt

上次课程回顾,1.0信号与系统信号、系统的概念1.1信号的描述和分类确定信号与随机信号；连续信号与离散信号；周期信号与非周期信号；能量信号与功率信号1.2信号的基本特性时间、频率、能量和信息特性,上次课程回顾,1.3信号的基本运算相加和相乘翻转、平移和展缩导数和积分差分和迭分,1.4 阶跃信号和冲激信号,1.4.1 连续时间阶跃信号,图 1.4-1 单位阶跃信号,阶跃信号和冲激信号是描述一类特定物理现象的数学模型，它们在信号与系统分析中具有重要意义。,注意：信号(t)在 t=0 处和(t-t0)在 t=t0 处都是不连续的。,应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：,1.4.2 连续时间冲激信号,图 1.4-3 单位冲激信号（函数）,单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流i C(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。,狄拉克(Dirac)定义式：,(t)=0,t0(t)=,t=0,1)冲激信号的定义,3)冲激信号实例,2)冲激信号的图形表示,表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。,(2)冲激信号的物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型,(3)冲激信号的作用：,(1)冲激信号具有强度：其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。,A.表示其他任意信号；,B.表示信号间断点的导数。,说明：,函数的积分为单位阶跃信号,(高斯函数序列）,(取样函数序列),(双边指数函数序列),函数的其他定义：,阶跃信号的导数为函数,冲激信号与阶跃信号的关系：,1.4.3 广义函数和函数的性质 常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。单位阶跃信号(t)在间断点处的导数为单位冲激信号、冲激信号(t)在t=0点处的值为无穷大。-不是常规函数 奇异函数（或广义函数）：非常规函数。,1.广义函数的基本概念 普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则 f 指定一个数值 y 的过程;广义函数 g(t)：对试验函数集(t)中的每个函数(t)，按一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng(t)的过程。广义函数g(t)的定义为:,广义函数与普通函数的对应关系,广义函数的基本运算：,(3)尺度变换,(4)微分,2.函数的广义函数定义,按广义函数理论，函数定义为,上式说明：函数与试验函数(t)作用后，能指定(t)在t0处的值(0)。或者说，广义函数(t)的作用效果是从(t)中筛选出数值(0)。通常称此性质为 函数的筛选性质。,3.函数的性质,性质1 函数的微分和积分,式中，(0)是(t)的一阶导数在 t=0 时的值。通常称(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。,函数和单位冲激偶(t)的积分为：,当t，由上面两式可得,性质2 函数与普通函数f(t)相乘 普通函数 f(t)与广义函数(t)的乘积，有:,根据广义函数相等的定义，得:,函数的筛选性质,例 1.4 1 试化简下列各信号的表达式。,性质3(t)函数与普通函数 f(t)相乘,根据广义函数相等的定义，有,对上式两边在(-,)区间取积分,同理，将(t)换成(t-t0)，重复上述推导过程,单位冲激偶的性质之二,性质4 尺度变换 设常数a0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将(n)(at)表示为,根据广义函数相等的定义，可得到,当n=0和1时，分别有,性质5 奇偶性,在尺度变换式中，若取 a=-1，则:,显然，当n为偶数时，有,当n为奇数时，有,表明：单位冲激函数(t)的偶阶导数是 t 的偶函数，而其奇阶导数是 t 的奇函数。,例 1.4 2 计算下列各式：,解：,注意：,2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。,1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是(-，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。,1.4.4 阶跃序列和脉冲序列,单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为,2.单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为,(k),因为只有当k=0时(k)的值为1，而当k0时(k)的值均为零，所以任一序列 f(k)与(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值等于 f(k)在 k=0 处的值，即：,而当 f(k)与(k-m)相乘时，有,根据定义，可看出(k)与(k)之间满足以下关系：,后向差分,迭分,1.5 系 统 的 描 述,系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、具有特定功能的整体。,1.5.1 系统模型,所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。形式(以电系统为例)：电路图模拟框图信号流图数学方程 按照一定规则建立的用于描述系统特性数学模型,RL串联电路,1.电路图表示,2.模拟框图表示,3.信号流图,4.数学模型,着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的系统模型称为状态空间模型或状态空间描述，相应的数学模型称为系统的状态空间方程。,输入输出模型,着眼于建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出模型或输入输出描述，相应的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。,状态空间模型,输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程,状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组,如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如下图所示。,如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统.,对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。,即时系统(无记忆系统),1.5.2 系统的输入输出描述,连续系统-如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。,离散系统-如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。,混合系统-由两者混合组成的系统称为混合系统。,1.系统的初始观察时刻 在系统分析中，将经常用到“初始观察时刻t0”或“初始时刻t0”一词，它包括两个含义:一是以t0时刻为界，将系统输入信号f(t)区分为f1(t)和f2(t)两部分，即:,含义之二：表示我们仅关心系统在tt0 时的 响应。而对t0时刻以前系统的响应不感兴趣，或者在输入信号作用下，我们从t0时刻开始观察系统的响应。,历史输入信号,当前输入信号(输入信号或激励),2.连续系统输入输出方程,用例子说明连续系统输入输出方程的建立,例 1.5-2 图示电路系统。其中，电压源us1(t)和us2(t)是电路的激励。若设电感中电流iL(t)为电路响应，则由基尔霍夫定律列出节点a的支路电流方程为,经整理：,如果描述连续系统输入输出关系的数学模型是n阶微分方程，就称该系统为n阶连续系统。当系统的数学模型为n阶线性常系数微分方程时，写成一般形式有,式中，f(t)是系统的激励，y(t)为系统的响应，an=1。方程中,若要求解n阶微分方程，还需要给定n个初始条件y(0)，y(0)，,y(n-1)(0)。,例1.5-3 考察银行存款本息总额计算问题。储户每月定期在银行存款，设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。解：k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项：(1)前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)；(2)y(k-1)的月息y(k-1)；(3)第k个月存入的款额f(k)。于是有：y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k)即：y(k)-(1+)y(k-1)=f(k),3.离散系统输入输出方程,一阶线性常系数差分方程,类似于连续系统，由n阶差分方程描述的离散系统称为n阶系统。当系统的数学模型(即输入输出方程)为n阶线性常系数差分方程时，写成一般形式有,式中，a0=1。,1.5.3 系统的状态空间描述,n阶系统在tk时刻的状态是指该时刻系统必须具有的n个独立数据，这组数据结合tk,t期间的输入就能完全确定系统在 t 时刻相应的输出。系统的状态变量：描述系统状态随时间变化的一组独立变量。如果系统具有n个状态变量x1(t)，x2(t)，xn(t)，则可将它们看成是矢量x(t)的各个分量，称x(t)为状态矢量，记为,例 1.5-5 对于图示的二阶电路系统，由节点a写出的方程 为,对回路 l 写出KVL方程,当选取i1、uL和iC作为系统输出时，其表达式可写成,可以选择uC(t)和iL(t)作为该电路系统的状态变量，即,(1.5-13),状态方程-状态变量一阶导数与状态变量和输入之间的关系。,输出方程,状态方程和输出方程称为系统的状态空间方程。利用状态空间方程描述系统输出与输入和状态变量关系的方法称为状态空间描述。,要求解状态方程，需要知道状态变量的初始条件x(0)。在输入信号作用下，状态变量值在t=0处可能发生跳变，因此，需分别考察初始时刻前一瞬间(t=0-)和后一瞬间(t=0+)时的情况。相应地x(0-)-0-初始状态 x(0+)-0+初始状态。,0-初始状态反映了历史输入对系统的全部作用效果，因此，也可将响应y(t)看成是由当前输入 f(t)和0-初始状态x(0-)共同决定的，表示为:,(1)若输入信号接入时，系统的0-初始状态为零(xi(0-)=0)，即系统在0-时刻没有储能，则系统的响应仅由当前输入信号确定。定义这时的响应为系统的零状态响应，记为 yf(t)。即,(2)若系统没有加入当前输入信号，输出响应完全由0-初始状态所引起，这时的响应称为系统的零输入响应，记为yx(t)。即,描述系统的基本单元的框图,连续时间系统,离散时间系统,1.5.4 系统的框图表示,常用的系统基本运算单元,例 1.5-6 某连续系统的输入输出方程为y(t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t)(1.5-17)试画出该系统的框图表示。解:将输入输出方程改写为 y(t)=f(t)-a1y(t)-a0y(t),式(1.5-17)的系统框图,例 1.5-7 某连续系统的输入输出方程为,y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t),试画出该系统的框图表示。解:该系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中除含有输入信号f(t)外，还包含有f(t)的导函数。对这类系统，可用引入辅助函数的方法画出系统框图。设辅助函数x(t)满足：,x(t)+a1x(t)+a0 x(t)=f(t),y(t)=b1x(t)+b0 x(t),(1.5-19),系数一样！,如果已知系统的框图表示，同样可以写出系统的输入输出方程(采用辅助函数方法)。,上述结论可推广应用于n阶连续系统。设n阶系统输入输出方程为,n阶系统框图表示,例1.5-8 某离散系统框图如图所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。,解：系统框图中有两个移位器，所以是二阶系统。与连续系统相似，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k)，则该移位器的输出为x(k-1)，右边移位器的输出为x(k-2)。写出加法器的输出：,y(k),y(k),由系统框图列写微分（或差分）方程的步骤,选中间变量x()。对于连续系统，设其最右端积分器的输出为x(t)；对于离散系统，设其最左端迟延单元的输入为x(k)；写出各加法器输出信号的方程；消去中间变量x()。,1.6 系统的特性和分类,1.6.1 线性特性 系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)。这一过程表示为,f()y(),式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。,线性特性包括齐次（均匀）特性与叠加特性。,(1)齐次特性：,(2)叠加特性：,线性特性一般表示为,其中，为任意常数,线性系统,对一个系统，如果它满足如下三个条件，则称为线性系统，否则称为非线性系统。,条件1 响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和，即y()=yx()+yf(),这一结论称为系统响应的可分解性，简称分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。条件2 零输入线性：即零输入响应 yx()与初始状态 x(0-)或 x(0)之间满足线性特性。条件3 零状态线性：即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。,例 1.6-1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。(1)y(t)=x(0-)f(t)(2)y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b,系统(4)：令f(t)=0时，系统响应为常数b,把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。,不满足分解性,不满足零输入线性,不满足零状态线性,判断系统是否线性注意,1在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2在判断系统的零输入响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（x(0)，而不能以其它的变量（如 t 等）作为自变量。3在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（f(t)），而不能以其它的变量（如 t等）作为自变量。,1.6.2 时不变特性,参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。,一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。,时不变的连续系统表示为,时不变的离散时间系统表示为,线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。,例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。(1)yf(t)=acosf(t)t0(2)yf(t)=f(2t)t0 输入输出方程中 f(t)和 yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。,故该系统是时不变系统。,解:(1)已知,也即：,则其零状态响应,设,(2)yf(t)=f(2t)(t0)该系统为一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。所以，这样的系统是时变的。设：,相应的零状态响应为,故该系统是时变系统。,说明 例图,=f(2t),(1)y(t)=sinf(t)(2)y(t)=costf(t)(3)y(t)=4f 2(t)+3f(t)(4)y(t)=2tf(t),例 试判断下列系统是否为时不变系统,时不变系统,时变系统,时不变系统,时变系统,分析：判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。,注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。,1.6.3 因果性,所谓激励可以是当前输入，也可以是历史输入或等效的初始状态。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统。,因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也即，因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。,输出不超前于输入,判断方法：,例 1.6-3 给定系统：,解：给定三个系统，由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。如果输入输出方程为,该系统是非因果的。系统 yf(t)=f(2t)也是非因果系统。,在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前输入信号作用下，因果系统的零状态响应只能出现在t0的时间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号，而把从某时刻t0(t00)开始的信号称为有始信号。,实际的物理可实现系统均为因果系统,非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展处理等。,1.6.4 稳定性如果一个系统对任何有界的激励f()所产生的零状态响应yf()亦为有界时，就称该系统为有界输入/有界输出(Bound-input/Bound-output)稳定，简称BIBO稳定，有时也称系统是零状态稳定的。一个系统，如果它的零输入响应yx()随变量 t(或k)增大而无限增大，就称该系统为零输入不稳定的；若yx()总是有界的，则称系统是临界稳定的；若yx()随变量t(或k)增大而衰减为零，则称系统是渐近稳定的。,1.6.5 系统的分类 综上，我们可以从不同角度对系统进行分类。按系统工作时信号呈现的规律，可将系统分为确定性系统与随机性系统；按信号变量的特性分为连续(时间)系统与离散(时间)系统；按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与多输入多输出系统；按系统的不同特性分为瞬时与动态系统、线性与非线性系统、时变与时不变系统、因果与非因果系统、稳定与非稳定系统等等。,1.7 信号与系统的分析方法,LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。实现系统分析的统一观点和方法是：激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别作用时相应响应的叠加；不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。,信号分析,连续信号,离散信号,取样,时域：信号分解为冲激信号的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,时域：信号分解为脉冲序列的线性组合,频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合,复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合,系统分析,连续系统,离散系统,系统的描述,输入输出描述法：N阶微分方程,系统响应的求解,系统的描述,系统响应的求解,状态空间描述：N个一阶微分方程组,时域：,频域：,复频域：,输入输出描述法：N阶差分方程,状态空间描述：N个一阶差分方程组,时域：,频域：,Z域：,EXEP42431.11（2）（4）（6）（10）1.121.15,