《医药数理统计》PPT课件.ppt

通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。,3.1 随机变量的数学期望；,3.2 随机变量的方差；,本章内容：,数字特征,第三章 随机变量的数字特征,定义 设离散型随机变量X的概率分布为,PX=xk=pk，k=1,2,3,若级数,，则称级数和,为随机变量 X 的数学期望（或均值），,记作E（X）,随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在,解 易知,例1 设随机变量X的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分,定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分,说明：如果积分 不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。,收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，,2.连续型随机变量的数学期望,试证X的数学期望不存在,证 因为,例2 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为,即 不收敛，所以X的数学期望不存在,求X的数学期望（page 56）.,例3 设随机变量X的概率密度函数为,解,3.随机变量函数的数学期望,定理3 设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有,(1)若 为离散型变量，其概率函数为,(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分 收敛,则有,求E(X2)及E(2X-1).,例3.5 设随机变量X的概率密度函数为,证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.,2.设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X),证 设X的密度函数为，则有,3.设 为任意两个随机变量，都有,1.设C为常数，则有E(C)=C,4.数学期望的性质,4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有,注：3、4可以推广到有限个的情形,解:,二项分布的均值,Poisson 分布,解:,解:,均匀分布,指数分布,解:,常见随机变量的数学期望,例,为简单计，设 n 是 k 的倍数，设共分成 n/k 组,第 i 组需化验的次数为X i,解:,若,则EX n,例如，,中位数、众数和分位点,定义,定义,定义,例,例,解:,解:,双侧 分位数的概念,设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),则对于满足 0 1/2 的,则称 x/2 为X 所服从的分布的双侧 分位数,若,标准正态分布的上 分位数 z,常用数字,-u/2=u1-/2,四分位数指,例：page63 例3.11,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机,方差的定义,定义1,即 V(X)=E X-E(X)2,变量 X 的方差,记为V(X)或 Var(X),D(X)描述 随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度,数,若 X 为离散型 随机变量，分布律为,若 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x),计算方差的常用公式：,(1)V(C)=0,(2)V(aX)=a2V(X),（3）若X,Y 相互独立，则,方差的性质,则,常见随机变量的方差(P.70),区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),例1 设X P(),求V(X).,解,方差的计算,例2 设X B(n,p)，求V(X).,解引入随机变量,相互独立，,故,例3 设 X N(,2),求 V(X),解,仅知 r.v.的期望与方差 并不能确定其分布,与,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,K阶原点矩和K阶中心矩的概念,