《分离变量》PPT课件.ppt

2.4 非齐次方程的解法,通过前面课程的学习，我们已经了解，用分离变量法求解偏微分方程定解问题，这个定解问题必须是线性、齐次方程、齐次边界条件。那么对于非齐次方程和非齐次边界条件如何进行处理？,非齐次方程、齐次边界条件,考虑如下定解问题：,从物理上看：在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时的振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。,从数学上看：就是将将弦的振动位移分解为强迫力引起振动的位移与初始状态引起振动的位移的和。即,设,强迫力引起振动的位移；,初始状态引起振动的位移。,即,（2.40）,满足如下定解问题：,（2.41）,（2.42）,满足如下定解问题：,不难验证，若V是（2.41）的解，W是（2.42）的解，则uV+W一定就是原定解问题的解。,问题（2.42）可以直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要讨论如何解问题（2.41）就行了。,（2.42）,（2.41）,复习：参数（常数）变易法,下列形式的一阶常微分方程,一阶线性非齐次,一阶线性齐次,一阶线性齐次常微分方程的解法,是可分离变量方程。分离变量，得,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,一阶线性非齐次常微分方程的解法,齐次方程与非齐次方程的差异，在于,。,仍然是,的一个解。它不可能满足线性非齐次方程。如果我们把C看作x的函数，并将,代入线性非齐次方程中，得,常数变易,得,即,因此，有,两边积分，得,将,代入到,得,在实际运算中，我们取,于是，得到一阶线性非齐次常微分方程的通解公式：,齐次方程、齐次边界条件下，定解问题,的解为,而定解问题,（2.41）,只比齐次方程多一个自由项f(x,t)，所以设想（2.41）的解,有如下形式：,（2.43）,一阶线性非齐次,一阶线性齐次,是一个特解,也满足方程,是非齐次方程的解,也按特征函数系展开成如下的级数：,（2.44）,其中,（2.43）,将（2.43）及（2.44）代入,得,（2.45）,（2.44）,（2.45）,即,我们又得到一个常微分方程。,再将（2.43）代入（2.41）中的初始条件得,（2.43）,（2.41）,同样可得,因此，只需解如下的常微分方程初值问题：,（2.46）,用拉普拉斯变换法解这个二阶常系数非齐次常微分方程,拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯()给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法,解：,在方程（2.46）,得两端取关于t的拉普拉斯变换，得,（2.46）,利用拉普拉斯变化的卷积性质，得,所以，,（2.42）,将这个解与（2.42）,的解加起来，就得到原定解问题（2.372.39）的解。,还可以用冲量定理法求解非齐次振动方程定解问题。,冲量定理法的前提是初始条件均取零值。,这里所给的求解问题（2.41）的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开。随着方程与边界条件的不同，特征函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的特征函数展开。所以这种方法也叫做特征函数法。,解 由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标系与极坐标系之间的关系,这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题。采用特征函数法，并注意到在2.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的特征函数，可令问题（2.47）、（2.48）的解为,代入（2.47）,（2.49）,（2.50）,并整理得到,（2.51）,再由条件（2.48）,（2.52）,（2.53）,方程（2.50）与（2.51）都是齐次的欧拉方程，它们的通解分别为,得到,下面的任务就是要确定,方程（2.49）是一个非齐次的欧拉方程，利用待定系数法可求得它的一个特解,（2.49）,所以，它的通解为,由条件（2.52）,（2.52）,（2.52）,因此,原定解问题得解为,