《函数极限的定义》PPT课件.ppt

第三节 函数极限的定义,一、函数在有限点处的极限,在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.,引例 设函数,尽管函数在点 处没有定义，,但当 无限趋近于1而不等于1时，,相应 无限趋近于2.,或,定义 设函数 在点 的某个空心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，对于满足 的一切，都有,那么常数 就称作函数 当 时的极限，记为,函数极限 的几何意义,对于任意，,对满足 的一切，,都有,总存在正数，,例 函数,注1：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有,定义、或 为多少毫无关系，它所反映的是 在,则有,该点附近的变化趋势.,经过不等式的变形，得到关系,注2:函数 在点 的极限的定义说明了如何去证明,其中 是一个与 无关的常量.再取，则当,函数 在点 的极限为 的方法：对于 考虑,时，有：,此即说明,例1 证明下列极限,证 因,所以,取，当 时，可使,故,因,欲使 即,所以 不妨取 此时令,则当 时，有,因而,例2 证明,证 因,所以,取，当，可使,所以,例3 证明,证 因,为能解出不等式，要对 进行适当的控制，,为此限定 的变化范围为，此时有,所以,取，当 时，,可使,所以,证 因,例4 证明,取 即 所以,所以,取，当 时，,所以,证 因,例5 设，证明,所以,取，当 时，,可使,所以,左右极限,考虑函数:,是当 在该点两侧趋近于 时，函数有一个确定的变化,趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，,这就需要分别加以讨论.,前面讨论的是函数 在某一点 的极限，它反映的,该函数在点 两侧的变化趋势是不同的:,当 在 0 的右侧趋近于 0 时，,当 在 0 的左侧趋近于 0 时，,这就导出左右极限的概念.,那么 称作 在 处的左极限，记为,左极限定义：若 当 时，,使得,那么 称作 在 处的右极限，记为,右极限定义：若 当 时，,使得,或,或,容易证明：,例如：,定理 极限 存在的充分必要条件是 在点,处的左右极限存在并且相等.即,存在 均存在，且,解 因,例6 说明极限 不存在.,所以极限 不存在.,二、函数在无穷远处的极限,定义 设函数 在 时有定义，为常数.,若，当 时，使得,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,若，当 时，使得,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,若，当 时，使得,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,例7 证明,证 因,所以,取，当 时，使得,所以,例8 证明,证 因,只要，即,所以,取，当 时，使得,所以,类似可证,证 因,例9 证明,所以,取，当 时，使得,所以,例10 证明,所以,取，当 时，使得,证 因,当 时，则有不等式,所以,三、极限的性质,即：在 的某个空心邻域内有界.,定理1(局部有界性)如果极限 存在，,证 设，由定义，对 存在,当，即 有,那么在 的某个空心邻域内，函数 有界.,证 设，由定义，对 存在,当 时，有 从而,定理(有界性)如果极限 存在，那么存在,取，则对所有的，有,使得对所有的，有,定理2(极限的保号性)如果，则存在点,的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：,证 设，由定义，对 存在,当 时，有,定理2(保号性)如果，则存在正整数,当 时，有：,推论 在 的某个空心领域中，有 且,则,注意：如果推论的条件改成（严格大于），则,不能推出 例如 时 但,证 设，则 当 时，,定理3(函数极限与数列极限的关系),则此数列相应的函数值数列 收敛，且,设 存在，又设 是函数 定义域中的,一个任意数列，且,由条件 故对，当 时，有,即,因而,即,此定理的一个实际意义是：,使其函数值数列收敛到两个不同的值，即,如果能够找到自变量的两个不同子列,则说明函数在这一点无极限.,所以 不存在.,例 证明函数 在 时极限不存在.,证 令,则,但,对于数列，有,定理 设 存在，则对于 的任一子列,用此定理，即可说明数列 的极限不存在.,有,