《函数与极限》PPT课件.ppt
高 等数 学,龚文玥,第一章函数与极限第二章导数与微分第三章不定积分第四章定积分及其应用*第五章无穷级数第六章空间解析几何第七章 多元函数及其微分法第八章 多元函数积分法第九章 常微分方程及其应用*第十章 数学计算软件的介绍,第一节 函数第二节 初等函数第三节 极限第四节 极限的运算第五节 函数的连续性,第一章函数与极限,一、函数定义,1、定义：设x 和y是两个变量。是一个给定的数集，如果对于每个，按f法则变量y总有唯一的数值和它对应，则称f为D上的一个函数。记作 其中x为自变量，y为因变量，,函数三要素:函数关系、定义域、值域。,2、函数的表示法：解析法、列表法、图示法,3、函数举例,符号函数,在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数，称为分段函数。,绝对值函数,取整函数,即结果为不超过x的最大整数。,、函数的有界性设y=f(x)在(a,b)内有定义。若存在0,使得对所 有，有，则称函数在(a,b)内有界。如果不存在这样的，则称函数在(a,b)内无界。,二、函数的性质,2、单调性,3、奇偶性,4、周期性,三、复合函数 反函数,1、复合函数定义,设y=f(u)是数集E上的函数，是从数集D到数集E的函数，对，经过中间变量u，都有唯一的y与之对应，则产生新函数称为数集D上的复合函数。记作,注意：并不是任意的函数都可以复合,例：和 能否复合？和 呢？,设有函数y=f(x)，若对于，在数集D上有唯一的x与之对应，则得到，称为 y=f(x)的反函数。,记作,定理 若函数y=f(x)是定义在数集D上的单调函数，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调。,2、反函数定义,例 在整个定义域上不存在反函数。但适当限制定义域后，就存在反函数。,常量幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数,二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成，可用一个解析式表示的函数。,一、基本初等函数,(C是常数),一、数列的极限,1、数列定义：若函数f(n)的定义域是，当n从 小到大取值，对应函数值的排列 称为数列。,记为，其中 称为通项。,对（无论多么小），总 正整数，当n时，有 成立，则称A是 的极限或称 收敛于A。记为 或.,若 的极限不存在，则称 发散。,2、数列极限定义,3、几何意义,的极限是1。,用数列定义证明,(1),(2),(3),定理1 收敛数列必有界。推论 无界数列必发散。定理2 单调有界数列一定收敛。,4、数列极限的有关结论,有界数列定义 若，使一切 都满足，则称 有界。若不存在，则数列 无界。,例问，,是否有界。,二、函数的极限,（一）时函数的极限,1、定义 对于（无论多么小），如果总，使得当 时，有，则A叫做当 时 的极限，记作 或,2、几何意义,例 证明,（二）时函数的极限,2、极限定义 若对，总，当 时，有，则叫做函数当 时的 极限。记作 或,3、几何意义,例证明,4、左极限与右极限左极限：或 右极限：或,结论:极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等,例1 讨论函数 当 时的极限,（三）无穷小量与无穷大量,说明：（1）无穷小是一个以0为极限的函数（2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数（除了常数0）（3）无穷小必须相对于某一个变化过程而言,1、无穷小定义1 若当（或）时，函数f(x)的极限为0,则f(x)叫做（或）时的无穷小。,无穷小定义2 对,若总(或X0),当(或)时,有,则f(x)叫做无穷小.,讨论:数列1,0,2,0,.n,0,是无穷大量吗？,例证明,1,3、无穷大与无穷小的关系,在自变量的同一变化过程中,为无穷大 为无穷小,为无穷小 为无穷大,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。,例 求,一、无穷小量的运算,加、减法,乘法,除法,二、极限的四则运算,1、,例 求极限：,2、,3、,4、,5、,6、,7、,8、,9、,三、极限存在准则与两个重要极限,那么 limf(x)=A,若当（或）时，恒有,且,重要极限1,（一）夹挤定理,例题,2、,1、,3、,4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积割圆术，得到圆面积A是它的内接正n（)边形的面积 当 时的极限。怎么得到的呢？,（二）单调有界收敛准则 单调有界数列必有极限。,例2 设某顾客向银行存入本金p 元，年利率为r,n 年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。如果银行规定年复利率为r,试根据下述不同的结算方式计算顾客t年后的最终存款额。(1)每年结算一次;(2)每月结算一次,每月的复利率为r/12;(3)若结算周期变为无穷小,这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算连续复利情况下顾客的最终存款额.,例3 在化学反应中，物质的瞬时反应速率与物质当时的量成正比。设比例系数为k，开始时参加反应物质的量为。经过 t小时后，未起反应的物质的量为多少？,如果，则称 是比 高阶的无穷小，记作；如果，则称 与 是同阶无穷小；当C=1时，称 与 是等价无穷小，记作,四、无穷小量的阶,1、定义,如果，则称 是 的k阶无穷小。,2、等价无穷小的重要性质,例求 例求,若 且 存在，则,一、连续函数的概念,定义1设增量 如果当 时，有，则称函数 在点 连续.,1、连续性定义,定义2 若，则称 f(x)在点 处 连续。,例 用连续的定义证明函数 在R上连续。,一切初等函数在其定义域上是连续的。,、左连续和右连续,结论：y=f(x)在点 处连续的充要条件是在点 既左连续又右连续,3、在区间（a,b)、a,b上连续的函数。,二、函数的间断点,、定义：如果f(x)有下列情形之一(1)在点 无定义(2)不存在(3)在点 有定义，也存在，但,则称点 为函数y=f(x)的间断点或不连续点。,例1 考察函数 在点x=1处的连续性。,例2 考察 在x=1处 的连续性。,例3 讨论函数 在x=0处的连续性。,例4 求y=tanx的间断点。,例5 讨论函数 在 x=0处的连续性。,、间断点的分类：第一类间断点和第二类间断点,不是第一类间断点的，称为第二类间断点，其中使得函数极限为 的称为无穷间断点；使得函数处于振荡状态的点称为振荡间断点。,三、闭区间上连续函数的性质,定理2（介值定理）设y=f(x)在a,b上连续，（），则对介于与之间的任意一个数，至少有一点，使得,零点：如果，则 称为 的零点，即方程f(x)=0的根。,推论2(零点定理）设 在 上连续 且，则至少有一点，使,例证明：三次代数方程 在（0，1）内至少有一个根。,
