五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点.ppt

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点,第一节 解析函数的洛朗展式第二节 解析函数的孤立奇点第三节 解析函数在无穷远点的性质,形如的级数称为双边幂级数,第一节解析函数的罗朗展式,1 双边幂级数,正则部分是幂级数，故收敛圆对于主要部分，可作代换,成为一幂级数它的收敛区域为,因此当 时，两者有公共的收敛区域即圆环：。在此圆环内有,定理5.1设双边幂级数的收敛圆环为,则（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于（2）在内解析（3）级数在内可逐项求导任意次。,2、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数 其中 且展式唯一,定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。,例5.1 将函数在下列三个区域内（1）圆（2）圆环（3）圆环内求的罗朗展式。,解：首先,（）在圆内,（）在圆环 内 有故,（）在圆环上故,3、孤立奇点邻域内的罗朗展式定义5.2 若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为 的一个孤立奇点。,若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心邻域 内可展成罗朗级数。,例5.2 求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。,解：有两个奇点和。在的（最大）去心邻域内,在的（最大）去心邻域内,5.2解析函数的孤立奇点,孤立奇点的分类可去奇点、极点、本性奇点。,定义5.3 设是的孤立奇点，（1）若主要部分为0，则称是的可去奇点 f(z)。（2）若主要部分为有限多项，则称是的 极点，此时主要部分的系数必满足 此时称 为 极点阶级点，亦称为级极点。若主要部分有无限多项，则称是f(z)的本性奇点。,2、可去奇点的判断定理5.3 设为的孤立奇点，则下述等价：（1）在的主要部分为0；（2）（）在点的某去心邻域内有界。,证：（1）（2）由（1）有 因此,（2）（3）即例1.27（3）（1）考虑主要部分的系数其中可任意小，故,极点定理5.4 若以点为孤立奇点，则下述等价（1）是级极点，即主要部分为,（）在点的去心邻域内有 且解析且（）以为级零点。,定理5.5 的孤立奇点为极点的充分必要条件是,5、本性奇点定理5.6 的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是,定理5.7 若为之一本性奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为的本性奇点。如：为的本性奇点，亦为的本性奇点。,6、毕卡定理定理5.8 若为的本性奇点，则对任意数（可以是），都有一个收敛于的点列使,定理5.9（毕卡大定理）若为的本性奇点，则对每一个，除掉可能一个值外，必有趋于的无限点列 使,第三节解析函数在无穷远点的性质,定义5.4 设函数在无穷远点（去心）邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。,作变换于是函数在去心邻域内解析。即是的一孤立奇点，依此可规定的类型。,定义5.5 若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我们相应地称为的可去奇点、级极点或本性奇点。,类似于有限孤立奇点的分类，可依在的主要部分的项数对进行分类。主要部分为,例5.6 求出（1）（）的奇点（包括），并确定其类别,解：（1）以为可去奇点,为一级极点为非孤立奇点（因是的聚点）,（2）令，得该函数的所有奇点为,是一级极点，是非孤立奇点，因是的聚点。至于应是可去奇点。,例5.7 若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点。,证：是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令 则在内解析且由假设有以为聚点的一列零点。由零点的孤立性，必恒为0，这与题设矛盾。,其次也不能是的极点，否则有，使当时，这亦与题设矛盾。故只能是的本性奇点。,