《偏导数定义》PPT课件.ppt

一、偏导数的定义,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。,只要把 x 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 x 求导数即可。,只要把 y 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 y 求导数即可。,其它情况类似。,解,把 y 看成常量,把 x 看成常量,解,把 y 看成常量,把 x 看成常量,解：,偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,一元函数中在某点可导,多元函数中在某点偏导数存在,连续。,连续。,？,偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,全微分的定义,事实上,即,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在,多元函数的各偏导数存在,例如，,？,微分存在,全微分存在,则,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。,证,同理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,解,(2,1)处的全微分,它们均连续。因此，函数可微分。,例5.,解：,解,所求全微分,证（1）,令,总结：,练习,多元函数连续、可导、可微的关系,三、高阶偏导数与高阶全微分,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,问题:,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,定理3,证明：,作辅助函数,于是有,证毕。,解,