《信道编码定》PPT课件.ppt
2023/7/10,1,第五章：信道编码定理（一）,5.1 离散信道编码问题5.23 离散信道编码定理,2023/7/10,2,5.1 离散信道编码问题,最简单的检错和纠错单个的字无法检错：扪？词汇能够检错：我扪的我扪的词汇能够纠错：我扪的我们的，我等的，我辈的，我班的，原因分析：“扪？”可以有几万个答案，但“我扪的？”的答案却很少。结论：课文以及词汇的概率分布的稀疏性可以用来检错和纠错。,2023/7/10,3,5.1 离散信道编码问题,设信道是一个D元字母输入/D元字母输出的DMC信道，字母表为0,1,D-1。其信道转移概率矩阵为DD矩阵如下。这是一个对称信道。信道传输错误的概率定义为P(输出不等于k|输入为k)=p，k0,1,D-1。此处p(1-p)。,2023/7/10,4,5.1 离散信道编码问题,设信源消息序列经过D元信源编码（等长编码或不等长编码）后变成了如下的随机变量序列X-2X-1X0X1X2，其中每个随机变量Xl的事件全体都是D元字母表0,1,D-1。将此随机变量序列切割成L维随机向量准备输入信道：(X1X2XL),(XL+1XL+2X2L),。如果直接将(X1X2XL)输入信道，信道的输出为(X1X2XL)，则当信道传输错误时无法检测到（即接收方无法确知是否正确接收）。正确接收的概率为P(X1X2XL)=(X1X2XL)=P(X1=X1)P(X2=X2)P(XL=XL)=(1-p)L。,2023/7/10,5,5.1 离散信道编码问题,将(X1X2XL)进行变换：C(X1X2XL)=(U1U2UN)，其中(U1U2UN)为N维随机向量，NL，且变换是单射（即(X1X2XL)的不同事件映射到(U1U2UN)的不同事件）。将(U1U2UN)输入信道；信道的输出为(Y1Y2YN)；再根据(Y1Y2YN)的值猜测出输入信道的值(U1U2UN)，并根据变换式(U1U2UN)=C(X1X2XL)将(U1U2UN)反变换为(X1X2XL)。如果(X1X2XL)=(X1X2XL)，则正确接收。,2023/7/10,6,5.1 离散信道编码问题,（1）(X1X2XL)的事件共有DL个，因此(U1U2UN)的事件共有DL个，占N维向量值的份额为DL/DN=1/DN-L。因此当信道传输错误时，有可能使输出值(Y1Y2YN)不在这1/DN-L份额之内。这就是说，信道传输错误有可能被检测到。（2）如果精心地设计变换C(X1X2XL)=(U1U2UN)和猜测规则(Y1Y2YN)(U1U2UN)，则正确接收的概率远远大于(1-p)L。（3）变换(X1X2XL)(U1U2UN)=C(X1X2XL)称为信道编码，又称为(N,L)码。一个事件的变换值称为该事件的码字。L称为信息长，N称为码长。,2023/7/10,7,5.1 离散信道编码问题,（4）过程(Y1Y2YN)(U1U2UN)(X1X2XL)称为纠错译码。当(X1X2XL)=(X1X2XL)时称为正确译码（实际上就是正确接收）。（5）N比L大得越多，1/DN-L份额越小，码字的分布越稀疏，信道传输错误不在这1/DN-L份额之内的可能性越大，即信道传输错误越容易被检测到。但N比L大得越多，信道传输的浪费越大。（6）称R=L/N为编码速率，也称为信息率。（似乎与信源编码相互倒置？）（7）注解：“(X1X2XL)不进行编码”实际上也是一种编码，称为恒等编码。此时N=L，事件x=(x1x2xL)的码字就是x自身。,2023/7/10,8,5.1 离散信道编码问题,关于译码准则译码准则就是猜测规则。当信道的输出值为y时，将其译为哪个码字u最合理？最大后验概率准则简记b(u|y)=P(U1U2UN)=u|(Y1Y2YN)=y)。称b(u|y)为后验概率。最大后验概率准则：,2023/7/10,9,5.1 离散信道编码问题,后验概率的计算：记q(u)=P(U1U2UN)=u)，称q(u)为先验概率；pN(y|u)=P(Y1Y2YN)=y|(U1U2UN)=u)，我们知道p(y|u)是信道响应特性，而且pN(y|u)=P(Y1=y1|U1=u1)P(Y2=y2|U2=u2)P(YN=yN|UN=uN)=(p/(D-1)d(1-p)N-d，其中d是(y1y2yN)与(u1u2uN)对应位置值不相同的位数；（以后将称d为Hamming距离）,2023/7/10,10,5.1 离散信道编码问题,记w(y)=P(Y1Y2YN)=y)。我们知道,2023/7/10,11,5.1 离散信道编码问题,最大似然概率准则最小距离准则（最小错误准则）y与u的Hamming距离定义为(y1y2yN)与(u1u2uN)对应位置值不相同的位数，记为d(y,u)。,2023/7/10,12,5.1 离散信道编码问题,命题 最大似然概率准则等价于最小距离准则。证明 pN(y|u)=P(Y1=y1|U1=u1)P(Y2=y2|U2=u2)P(YN=yN|UN=uN)=(p/(D-1)d(1-p)N-d，其中d是y与u的Hamming距离。注意到p/(D-1)(1-p)。所以pN(y|u)达到最大，当且仅当y与u的Hamming距离达到最小。得证。,2023/7/10,13,5.1 离散信道编码问题,命题 如果每个码字是等概出现的，则最大后验概率准则等价于最大似然概率准则。证明,2023/7/10,14,5.1 离散信道编码问题,对两种译码准则的评述最大后验概率准则具有很好的直观合理性。收到y的条件下，最可能发送的是哪个码字，就认为发送的是哪个码字”。最大似然概率准则（最小距离准则）所具有的直观合理性弱一些。发送哪个码字的条件下，最可能收到y，就认为发送的是哪个码字。最大似然概率准则（最小距离准则）的实现比最大后验概率准则的实现更简单：前者只需要看哪个码字与y的Hamming距离最小；后者需要知道各码字的概率分布，然后用贝叶斯公式计算并比较后验概率。两种准则都可以用在没有编码（直接发送）情况下的纠错译码。,2023/7/10,15,5.1 离散信道编码问题,例5.1.1(p143)BSC信道的转移概率矩阵为取L=1。如果直接将X1输入信道，信道的输出为X1，则当信道传输错误时无法检测到。正确接收的概率为P(X1=X1)=1-p。今取L=1，N=4，二元(4,1)码如下：00000，11111。,2023/7/10,16,5.1 离散信道编码问题,译码规则如下：当(Y1Y2Y3Y4)中1的个数为3或4时，(Y1Y2Y3Y4)(1111)1；当(Y1Y2Y3Y4)中1的个数为0或1时，(Y1Y2Y3Y4)(0000)0；当(Y1Y2Y3Y4)中1的个数为2时，(0011)、(1100)、(1001)(0000)0，(0101)、(1010)、(0110)(1111)1。译码规则显然是最小距离准则。,2023/7/10,17,5.1 离散信道编码问题,何时检测到信道传输错误？当(Y1Y2Y3Y4)不是一个码字时，检测到信道传输错误。换句话说，(Y1Y2Y3Y4)与原发码字(U1U2U3U4)的Hamming距离1且3时，检测到信道传输错误。因此，信道传输有错误但能检测出错误的概率为,2023/7/10,18,5.1 离散信道编码问题,何时正确译码（正确接收）？当(Y1Y2Y3Y4)与原发码字(U1U2U3U4)的Hamming距离1时，正确译码；当(Y1Y2Y3Y4)与原发码字(U1U2U3U4)的Hamming距离=2时，一半能正确译码，另一半不能正确译码；当(Y1Y2Y3Y4)与原发码字(U1U2U3U4)的Hamming距离3时，不能正确译码。正确译码（正确接收）的概率为,2023/7/10,19,5.1 离散信道编码问题,2023/7/10,20,5.23 离散信道编码定理,首先需要说明，上述离散信道编码的编码速率（信息率R）本来是设备所确定的。当信源每秒产生ns个字母，信道编码所使用的设备每秒产生nc个字母，则设备所确定的编码速率就是R=ns/nc。其次，实际编码速率（实际信息率L/N）必须不小于设备所确定的编码速率：L/N R。于是对离散信道编码有了以下两条相互矛盾的要求：（1）实际编码速率L/N 尽可能小以便使正确译码（正确接收）的概率尽可能接近1。（2）实际编码速率不小于设备所确定的编码速率L/N R。,2023/7/10,21,5.23 离散信道编码定理,设信源序列经过信源编码后变成了如下的序列X-2X-1X0X1X2。设各随机变量独立同分布。记H(X)为X0的熵，C为信道容量。如果设备所确定的编码速率RC/H(X)，则不能够同时满足这两条要求。（如果设备所确定的编码速率R=C/H(X)，则情况如何？很复杂，属于边界情况，没有简单整齐的结论。）,2023/7/10,22,5.23 离散信道编码定理,定理5.3.1(p152)（Shannon信道编码定理）如果设备所确定的编码速率RC/H(X)，则对任何正整数L（L=1，2，），存在D元(N,L)码和对应的译码方法，使,2023/7/10,23,习题课,5.l 设有一DMC，其转移概率矩阵如下。若Q(x1)l/2，Q(x2)Q(x3)1/4，试求最佳译码判决以及误码率。,2023/7/10,24,习题课,5.l的解答 最佳译码判决指的是最大后验概率译码。记(Q(x1),Q(x2),Q(x3)信道的输入随机变量X的概率向量，又称为先验概率向量，(W(y1),W(y2),W(y3)为信道的输出随机变量Y的分布概率向量。则(Q(x1),Q(x2),Q(x3)=(1/2,1/4,1/4)，,2023/7/10,25,习题课,2023/7/10,26,习题课,收到“Y=y1”时，译作“X=x1”，误码率（译码错误的概率）为1/3；收到“Y=y2”时，译作“X=x1”，误码率（译码错误的概率）为1/2；收到“Y=y3”时，译作“X=x3”，误码率（译码错误的概率）为4/7。,2023/7/10,27,习题课,补充内容 试求最大似然译码。最大似然译码不需要先验概率向量，只需要转移概率矩阵。收到“Y=y1”时，P(Y=y1|X=x1)=maxxP(Y=y1|X=x)，译作“X=x1”；收到“Y=y2”时，P(Y=y2|X=x2)=maxxP(Y=y2|X=x)，译作“X=x2”；收到“Y=y3”时，P(Y=y3|X=x3)=maxxP(Y=y3|X=x)，译作“X=x3”。,
