《习题课重积分》PPT课件.ppt

第九章 习题课,重积分,一 基本要求1理解重积分的概念.2了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广.3掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标）.4会用重积分求一些几何量和物理量.,二.要点提示,二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算。三重积分可以化为一个单积分和一个二重积分或三次积分来计算。,1.重积分的计算,二重积分：在直角坐标系下,则（先y后x）,X-型区域:,若积分区域D可表示为,若积分区域D可表示为Y-型区域：,若D 不是X-型、Y-型区域，可由重积分的可加性来计算.,则(先x后y),在极坐标下（一般总是先对r 积分后对 积分）:,则,D:,若D不包含极点，,若D包含极点.D:,o,则,可以把复杂的二次积分化为较简单的二次积分。一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式画出积分域 D 的新的不等式表示新的二次积分.,交换积分次序,三重积分：设 在空间有界区域 上连续，,a.直角坐标系,先二后一(截面法）设 在 轴上的投影区间为，有界闭区域 为平行于 面的 的任意截面，则,b.柱面坐标系（图9-6）柱面坐标与直角坐标的关系如下：面积元素为,c.球面坐标系（图9-7）球面坐标与直角坐标的关系如下：体积元素为,2.二重积分的对称性（1）如果D关于 轴对称，则，有 其中（2）如果D关于 轴对称，则，有其中,（3）如果D关于原点对称，则，有其中 同上。（4）如果D关于直线 对称，则,答：不对。正确的是,三 问题与思考,问题2.选择积分次序计算二重积分应该考虑哪些方面?交换积分次序的步骤是什么?,答：两个方面，被积函数和积分区域.,步骤是：由累次积分的积分限，还原出积分区域，再将重积分按照新的次序化为二次积分.,问题3.针对积分区域和被积函数的特点,如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分?如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以计算三重积分?,答：若积分区域为圆（部分）域、扇形或扇面等，被积函数中含有，则常采用极坐标计算二重积分。,如果积分区域为球形域或部分球域，被积函数化为球面坐标形式比较简单,等形式），利用球面坐标计算三重积分常能简化运算.,如果积分区域在某坐标面上的投影为圆域、扇形域、圆环域或它们的一部分，被积函数化为柱面坐标形式比较简单（比如 等形式），则利用柱面坐标计算三重积分常能简化运算.,问题4写出在不同坐标下的二重积分的面积元素和三重积分的体积元素。,四 典型题目,为三顶点的三角形区域.,若改变积分次序，计算繁.,2.解 由对称性，有,注意：,4.分别用三种不同的坐标和先二后一法计算,解 直角坐标：,柱面坐标：,球面坐标：,先二后一法：,注：如果被积函数只依赖于一个变量，而以该变量去截积分区域而截面的面积又容易求得时，用“先二后一”法来计算三重积分常常能简化运算.,5.分别利用定积分，二重积分和三重积分计算旋转抛物面 和平面 所围成的空间区域的体积.,解 用定积分计算旋转体的体积,用二重积分计算,用三重积分计算，利用柱面坐标，有,