五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件.ppt

第五章,矩阵的特征值和特征向量,向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化,回忆:,1 向量的内积和正交化,推广到实数域R上的n维实向量空间,定义1,内积,内积的运算性质,(施瓦兹不等式）,当 时上式显然成立,当 时，,证毕,定义2,令,向量长度具有以下性质,（1）非负性,只有当 时,（2）齐次性,（3）三角不等式,证明：,根据内积的性质有,根据施瓦兹不等式，有,从而,即,当 时，,即,定义3,注：零向量与任何向量都正交.,定义4,定义5 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。,定理1 若 是正交向量组，则该向量组线性无关。,设,由于对于任意向量,则,即,由于 是一正交向量组，,故当 时，,因此有,又因为,所以,故 线性无关,定义6 设n维向量 是向量空间 的一组基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。,例如,同理可知,基 正交基 标准正交基,（1）正交化，取，,（2）单位化，取,解 先正交化，,令,施密特正交化过程,再单位化，,得标准正交向量组如下,例2,解,把基础解系正交化，即为所求令,定义7,定理3,为正交矩阵的充要条件是 的列(行)向量都是单位向量且两两正交,由此可知A的列向量组构成 的 一个标准正交基。,同样的方法，行向量组也是。,例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵,解,（2）由于,所以它是正交矩阵,定理2,例3 设,都是,阶正交矩阵，且,，求,提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？,解 由,，可知,，于是,所以,2 矩阵的特征值和特征向量,应当注意，根据定义特征向量不能是零向量,给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？,设该齐次线性方程组的解空间为,中的任一非零向量都是 的属于的 特征向量。,称为关于 的 属于特征值 的特征子空间,根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，,中就含有非零解向量,的特征方程,的特征多项式,特征多项式展开为,我们知道,次复系数多项式有 个且恰有 个根（重根按重数计算），故,阶方阵有 个复特征值,设 的 个特征根（重根按重数计算）为,则有,将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：,从上式（）可看出：，,有特征值的充分必要条件是,另外从特征值的定义可知，,对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的所有元素,若 的特征值是，是 的属于 的特征向量，则,特征值还有如下性质：,？,为x的多项式，则 的特征值为,(5)方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。,(6)矩阵 和 的特征值相同。,求特征值、特征向量的步骤：,即可求出特征值;,写出特征方程,求其所有的 根，,所以，A的特征值为,按照同样的方法：,特点：,（1）是代数方程，复数内有个根，有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。,(2)的特征向量只属于一个特征值，而 属于 的 特征向量却有无数更多个。,3 相似矩阵,矩阵的相似有以下关系：1）反身性；2）对称性；3）传递性。,矩阵相似的性质：,4）若 与 相似，则,注：,1）定理5的 条件必要但不充分。,2）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。,3）设,为他们的 某个特征值，,为 关于 的特征向量，,则 为 的 关于 的特征向量.,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式.,证明：,证毕。,说明,所以，A的特征值为,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,问 为何值时，矩阵 能对角化？,例,有2个线性无关的特征向量时，,矩阵 能对角化。,解,例,且 与 相似，求 的值。,因为 与 相似，,所以它们有 相同的 特征值2，2，b，,解,把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,1.由特征值、特征向量求矩阵,例2：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,令,分析：,2.求方阵的幂,例4：设 求,解：,定理实对称矩阵的特征值为实数.,4 实对称矩阵的对角化,证明,于是,证明,它们的重数分别为,设 的互不相同的特征值为,又对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵，则,解 显然A=A。故一定存在正交矩阵，使-1A为对角矩阵。,求得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,，则有,例2,设3阶实对称矩阵 的特征值为,对应 的特征向量依次为,求,与 正交,单位化，,得正交阵,则,解,