RLC电路与常微分方程的.ppt
第八章 RLC电路与常微分方程的解法,8.1 RC电路与常微分方程的欧拉解法RC电路:K 2 1 R C 先把开关K接通“1”端,电容C充满电后再把开关K接通“2”端,则这时电容C放电过程满足方程:即电容C上的电量是时间t的函数,满足以上微分方程.,如果设:=RC,t=0时刻电容所带电量为Q0 则有:考虑数值微分问题:已知:求f(x)在xn 点的导数.可以:或:,微分方程化为一般形式:把时间t等间隔离散化:其中:做如下近似:由方程得:,即:记:则得到解微分方程的欧拉法递推公式:对于RC电路:令,得到:方程的解析解:,微分方程化为一般形式:把时间 t 等间隔离散化:其中:欧拉(Euler)差分公式:由方程得:,即:记:则得到解微分方程的欧拉法递推公式:对于RC电路:例如：,得到:,rc(1,6,1,10);,欧拉法也可解释为Q(t)在tn处的泰勒展开:取线性部分:欧拉方法的截断误差:,例:写出解如下一阶常微分方程的欧拉公式:得:,8.2 RLC电路和改进的欧拉近似法RLC 电路图:L R C Va K 根据基尔霍夫定律:由于:,得:由于:所有:欧拉法:把二阶微分方程化成一阶微分方程组:,其中t是自变量,Q和I随着t的改变而改变.,function Q,I,tt=rlc(Q0,I0,con,T,dt)%RLC电路欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q(n+1)=Q(n)+dt*I(n);I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;endplot(tt,Q,r,tt,I,b);,rlc(1,0,1,1,1,5,15,0.1);,rlc(1,0,1,5,1,5,50,0.1);,2.向后的欧拉方法方法分为两步:预估:(一步)校正:,或者(k+1步)校正:,function Q,I,tt=rlc1(Q0,I0,con,T,dt)%RLC电路向后欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n);I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;Q(n+1)=Q(n)+dt*I1;I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I1-Q1/C)/L;endplot(tt,Q,r-,tt,I,b-);,rlc1(1,0,1,1,1,5,15,0.1);hold on rlc(1,0,1,1,1,5,15,0.1);,3.改进的欧拉法方法分两步:预估:(一步)校正:,或(k+1步)校正:,function Q,I,tt=rlc2(Q0,I0,con,T,dt)%RLC电路改进欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n);I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;Q(n+1)=Q(n)+dt*(I1+I(n)/2;I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*(I1+I(n)/2-(Q1+Q(n)/2/C)/L;endplot(tt,Q,r:,tt,I,b:);,RC电路:向后的欧拉法:预估:校正:改进的欧拉法:预估:校正:,function Q1,Q2,Q3,tt=rc3(Q0,T,dt,tao)%RC电路欧拉解法Q1(1)=Q0;Q2(1)=Q0;Q3(1)=Q0;tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1(n+1)=Q1(n)-dt*Q1(n)/tao;endfor n=1:length(tt)-1 Q=Q2(n)-dt*Q2(n)/tao;Q2(n+1)=Q2(n)-dt*Q/tao;endfor n=1:length(tt)-1 Q=Q3(n)-dt*Q3(n)/tao;Q3(n+1)=Q3(n)-dt*(Q+Q3(n)/2/tao;endQa=Q0*exp(-tt/tao);plot(tt,Qa,b,tt,Q1,r-,tt,Q2,r-,tt,Q3,r:);,rc3(1,6,1,10),一般微分方程:向后的欧拉法:改进的欧拉法:,8.3 龙格-库塔(R-K)方法对于微分方程:根据微分中值定理:即:,Q(t)tn tn+1 用tn处Q(t)的导数代替处导数 f(,Q(),则为欧拉法:用tn+1处Q(t)的导数的估计值代替处导数 f(,Q(),则为向后的欧拉法:,即:用tn和tn+1处Q(t)的导数的估计值的平均代替处导数 f(,Q(),则为改进的欧拉法:若取多点处斜率(即导数)的加权平均会使误差更小,称为龙格-库塔法,最常用的四阶龙格-库塔法:,例1:求解方程:梯形法:四阶龙格-库塔法:,有:,function y1,y2,xx=rk1(y0,X,dx)%矩形法和四阶龙格-库塔法y1(1)=y0;y2(1)=y0;xx=0:dx:X;for n=1:length(xx)-1 y=y1(n)+dx*y1(n);y1(n+1)=y1(n)+dx*(y1(n)+y)/2;endfor n=1:length(xx)-1 k1=y2(n);k2=y2(n)+dx*k1/2;k3=y2(n)+dx*k2/2;k4=y2(n)+dx*k3;y2(n+1)=y2(n)+dx*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endy=exp(xx);plot(xx,y,b,xx,y1,r-,xx,y2,r:);,rk1(1,5,1);,例2：四阶的龙格-库塔公式,例3：四阶的龙格-库塔公式,微分方程组:,龙格-库塔公式:,例4:求解阻尼振动方程首先把它转化为一阶微分方程组:,四阶龙格-库塔公式:,function x,v,tt=rk2(m,k,c,x0,v0,T,dt)%四阶龙格-库塔法x(1)=x0;v(1)=v0;tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 k1=v(n);l1=-(c*v(n)+k*x(n)/m;k2=v(n)+dt*l1/2;l2=-(c*(v(n)+dt*l1/2)+k*(x(n)+dt*k1/2)/m;k3=v(n)+dt*k2/2;l3=-(c*(v(n)+dt*l2/2)+k*(x(n)+dt*k2/2)/m;,k4=v(n)+dt*k3;l4=-(c*(v(n)+dt*l3)+k*(x(n)+dt*k3)/m;x(n+1)=x(n)+dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;v(n+1)=v(n)+dt*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;endplot(tt,x);h=line(Color,1 0 0,Marker,.,MarkerSize,20,EraseMode,xor);for i=1:length(tt)set(h,Xdata,tt(i),Ydata,x(i);pause(dt);end,x,v,tt=rk2(10,10,2,10,0,50,0.02);h=line(Color,1 0 0,Marker,.,MarkerSize,30,EraseMode,xor);for i=1:length(tt)set(h,Xdata,x(i),Ydata,0),axis(-10,10,-2,2),grid on;pause(0.02);end,
