第二节频率与概率.PPT

第二节 频率与概率,一.频率的定义与性质,描述一个随机事件发生的频繁程度,1.定义1.2.1 在相同的条件下，进行了 n 次重复试验，记 nA 是 A 发生的次数(又称为频数)；则定义 随机事件 A 发生的频率为 fn(A)=。,nA n,2.频率的性质,(1)(非负有界)0 fn(A)1;,(2)(规范性)fn(S)=1;,(3)(有限可加)如果 A1，A2，Am 两两互不相容，则有：,fn(A1A2 Am)=fn(A1)fn(A2)fn(Am),(1)频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件 来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不 一定会相同。,(2)频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值 附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率 的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。,大量的随机试验表明：,频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。,然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也无法去定义它们的频率。,3.概率的频率定义 自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率的极限来作为概率的定义。,例如下面的一些情况，必须看成是随机事件：,1.公司认为明年的利润将增长 10%。2.期末考试时，概率课成绩合格。3.我这次买的一张足球彩票将获得一等奖。,Remark(1)有些现象被看成是随机的，原因是对它们的研究 超出了人类目前的能力。比如：“宇宙中存在着地外文明”可以被认为是随机事件。(2)注意下面两个事件的区别：“某人的手机在何时将会接到一个呼叫”与“现在打来电话的是朋友还是陌生人”。,思考.分析苏轼水调歌头中秋中一句：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，,这种概率称为主观概率，表示对某事件发生与否的相信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。,批评：如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释最终将导致唯心论。,辩解：客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事件，决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率的整套数学理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。,随机事件 A 的概率，它的实际意义就是：这个事件在一次试验中发生的可能性大小。,二.概率的数学定义,1.定义1.2.2 S 是随机试验 E 的样本空间，如果对于 每一个随机事件 A 定义一个实数 P(A)，满足：,(1)(非负性)对任意的随机事件 A，有 P(A)0；,(2)(规范性)对必然事件 S，有 P(S)=1；,(3)(可列可加)对于任意一列两两不相容的随机事件 A1，A2，则有：P(A1A2)=P(A1)P(A2),则这个集合函数 P(A)就称为随机事件 A 的概率。,(1)不可能事件的概率为零：P()=0；(2)有限可加性：对于任意有限个两两不相容的随机 事件 A1，Am，则有：P(A1 Am)=P(A1)P(Am)；(3)概率具有单调性：如果 A B，则P(A)P(B)；(4)随机事件的概率不超过 1：P(A)1。,2.概率的基本性质,证明.利用概率定义中的可列可加以及非负性等。,三.概率的几个重要公式,1.对立事件的概率，P()=1 P(A)。,2.减法公式，P(B A)=P(B)P(AB)。特别的当A B，则P(B A)=P(B)P(A),3.加法公式，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)。推论：P(AB)P(A)+P(B),阅读材料,一般的加法公式 对于任意的 n 个随机事件 A1，A2，An，有 P(A1A2 An)=,练习1.2.1 利用概率的加法公式证明：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC),例1.2.2 假定“B 发生而 A 不发生”的概率是0.2，计算“A 发生或者 B 不发生”的概率。,解.转化成符号表示，即已知 P(B A)=0.2，需要计算的是概率：,解法1.利用对立事件的概率公式,解法2.利用概率的加法公式,例1.2.3 假定 P(A)=0.3，P(B)=0.5，分别计算(1)A、B 不相容；(2)A B；(3)P(AB)=0.7 时 概率P(B A)的值。,解。分析：由减法公式，P(B A)=P(B)P(AB)只需要计算出概率 P(AB)。,(1)A、B互不相容即 AB=，得到 P(B A)=0.5；(2)A B 等价于 AB=A，得到 P(B A)=0.2；(3)利用加法公式的另一形式：P(AB)=P(A)+P(B A)，得到P(B A)=0.4。,例1.2.4 假定 P(A)=0.6，P(B)=0.7，(1)什么情况下 P(AB)最大？最大值是多少？(2)什么情况下 P(AB)最小？最小值又是多少？,解.(1)对任意事件 A、B，P(AB)有一个上界，P(AB)min P(A)，P(B)；(2)根据概率的加法公式，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)当 P(AB)最大时，P(AB)最小。,A B 时P(AB)最大，最大值就等于P(A)=0.6,AB=S 时P(AB)最小，最小值就是 P(AB)=0.3,例1.2.5 假定某学院一年级新生共 1000 人 都参加期末 3 门课程(数学、英语、政治)考试。已知数据如下：,问三门课程都不及格的有多少人？或者等价的，全部课程都不及格的学生占多大的比例？,730,690,810,数学780,英语850,政治940,1000,650,解.分析：从这 1000 个学生中随机地选取一个，分别用 A、B、C 表示如下事件：A=数学及格，B=英语及格，C=政治及格 需要求出的是概率：,根据题意，有：P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;,利用概率的加法公式可算出 P(ABC)=0.99，因此随机选一个学生，他的三门课程都不及格的概率,=1 P(ABC)=0.01,一.等可能概型(古典概型)的定义,如果一个随机试验 E 满足：(1)试验的样本空间 S 只包含有限个样本点，(2)每一个样本点发生的可能性相同。这种随机试验就称为等可能概型，或古典概型。,古典概率的计算公式,P(A)=,随机事件 A 包含的样本点个数样本空间 S 包含的样本点总数,练习1.3.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P 恰好出现一次正面。,提示：这里有两种构造样本空间的形式，以随机试验的全部结果构造 S1=HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT 因此 P(A)=3/8；以正面出现的次数构造 S2=0，1，2，3 因此 P(A)=1/4。,古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。,1.加法原理与乘法原理,假设做一件事情可以采用 A 或 B 两类不同的方式，A 方式有 n 种不同的方法可以完成这件事，B 方式有 m 种不同的方法可以完成这件事。则完成这件事情一共有 nm 种不同的方法。,如果有若干类方式，就把所有方式的各种方法全部相加,二.排列组合的有关知识,加法原理,则从甲城市到乙城市一共有：243=9 条线路,：2,：4,：3,城市甲,城市乙,练习1.3.2 分析两颗均匀骰子抛掷出的点数和 2，3，12 的全部情况，它们各自对应多少个样本点？,假设做一件事必须经过 A 与 B 两个不同的步骤，步骤 A 包含了 n 种不同的方法，步骤 B 包含了 m 种不同的方法。则完成这件事情一共有 nm 种不同的方法。,如果有若干个步骤，就把所有步骤的各种方法全部相乘,练习1.3.3 讨论足球彩票与六合彩这两种彩票，每种 彩票包含的全部可能结果有多少？,乘法原理,：2,：4,：3,城市甲,城市乙,乡村丙,2,3,从甲城市到丙乡村的线路一共有：9(3 2)条。,从 n 个不同的物体中，无放回地任意取出 m 个(1 m n)排成有顺序的一列，称为 n 取 m 的不可重复排列(又称为：选排列)。,(1)不可重复的排列,2.基本的排列组合公式,不同的排列方法一共有：Pnm=n(n 1)(n m+1)=,例如从 26 个英文字母中任取 2 个字母排列，所有不同的方式一共有 P262=2625=650。,n!(n m)!,思考 1：假定 40 个人的生日都是随机地分布在 一年的 365 天中，则“没有两个人的生日相同”所包含的不同 排列方式一共有 P36540。,把 m 个不同的小球随机地放进 n 个不同的盒子中，每个盒子里的小球最多只能有一个。所有不同的放法一共有 Pnm 种。,有限制放球模型 不可重复排列,(2)允许重复的排列,从 n 个不同元素中允许放回，任意取 m 个出来排成有顺序的一列(即取出的这些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有 nnn=nm,m,例如，一个城市的电话号码是 8 位数字，那么理论上这个城市可以容纳 108，即一亿门电话。足球彩票有 313 种可能，六合彩有 106 种可能等等。,无限制放球模型 允许重复排列,把 m 个不同的小球随机地放进 n 个不同的盒子中，每个盒子里的小球个数不加任何限制。所有不同的放法一共有 nm 种。,思考 2：假定 40 个人的生日都是随机地分布在 一年的 365 天中，则所有不同的排列方式一共有 365 40。,练习1.3.4 随机找 40 个人中至少有两个人生日相同的概率？,(3)二项式组合,从 n 个不同元素中不允许放回，任意取 m 个(m n)来构成一个集合，称为 n 取 m 的组合。构成这个集合的不同的组合方法一共有 Cnm。,几个基本的组合公式：Cnm=Cn n m，Cn0=Cnn=1，mn=0 Cnm=2n，(x+y)n=mn=0 Cnm xm yn m,Cnm=,n!Pnmm!(n m)!m!,例1.3.5 某人的 10 张100元纸币中有 3 张假钞，现在 从中随机抽出 4 张。则所有不同的取法一共有：,恰好只取出一张假钞的所有取法一共有：,C104=210 种，,C31C73=3=105 种，,恰好只取出一张假钞的概率为 105/210=0.5，同理，取到的全是真币的概率为 35/210=1/6。,思考 3：假如这是一个赌局。当取到的 4 张都是真币，则归你所有；否则输100元。你是否愿意参加？,10987 4!,765 3!,例如，把 15 个学生平均分到 3 个班里，每班5 个，则所有不同的分配方案有：_,(4)多项式组合,把 n 个不同的元素分成 k 个部分，各个部分包含的元素个数分别是：m1，m2，mk；则全部不同的分配方式一共有：,二项式组合的推广,15!5!5!5!,(2)介绍的 4 种排列组合方式都具有等可能性。,Remark,(1)排列与组合的区别在于：排列必须考虑顺序，而组合不考虑顺序。,(3)排列与组合都可以用来构造样本空间。古典概率的计算，一般是先求出样本空间里的样本点 总数，再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。,一个接一个取：排列；一次取若干个：组合,三.古典概率的一些典型计算,例1.3.8 在 N 件产品中包含了 M 件次品，分别 采取无放回与有放回这两种抽样方式从中随机 取出 n 件产品，求恰好取出了 k 件次品的概率。,解.(无放回抽样的情况)把所有的产品编号，样本空间构造成：从 N 件不同 产品中同时取出 n 件产品的所有的二项组合方式；,因此，样本空间里的样本点总数一共有CNn。,1.随机抽样模型,利用乘法原理，“取出的 n 件产品中包含了 k 件次品”这个随机事件的讨论分解成两个步骤：,因此，无放回抽样时恰好取出 k 件次品的概率为：,概率论中称为是超几何分布的概率公式,M 件次品中取 k 个次品CMk,N M 件合格品取出 n k 件CN M n k,(有放回抽样的情况)仍然把所有产品编号，样本空间构造为：一个接一个从 N 件产品中取出 n 件产品的所有不同的有放回排列方式；此时，样本空间中的样本点总数一共有 N n 个。,取出的 n 个产品中究竟哪 k 个是次品Cnk,M 件次品中取 k 个次品 M k,N M 件合格品取出 n k 件(N M)n k,因此，有放回抽样时恰好取出 k 件次品的概率为：,概率论中称为是二项分布的概率公式,购买彩票的“秘诀”,从 135 个号码中随机抽取 7 个号码，全部可能一共有：C357=6,724,520,奇数号码与偶数号码之比：,5:2=C185 C172 4:3=C184 C173 3:4=C183 C174,0.1733 0.3094 0.2888,每个盒里最多一个小球，即有限制的放球模型，包含的样本点个数是 PNn 个。因此，每个小球都各占一个盒子的概率是 p=。,例1.3.9 把 n 个小球随机放进 N(n N)个盒子里，即每个小球都以同样的概率 1/N 落入某个盒子中。计算每个盒子里最多只有一个小球的概率。,解.由于每个小球都可以被放进 N 个盒子中的任何 一个，因此根据无限制的放球模型，样本空间中 包含的样本点总数有 N n 个；,2.随机分配模型,PNn N n,生日问题,假定每个人的生日在一年 365 天里是等可能的，随机挑选 n(n 365)个人，那么至少有两个人的生日相同的概率是：,p=1,P365n 365 n,解.对复杂随机事件的概率，讨论它的对立事件,例1.3.10 一颗骰子掷 4 次至少得到一个六点与两颗骰子 掷 24 次至少得到一个双六，哪一种情况更容易出现？,3.德 梅尔问题,“一颗骰子掷 4 次”一共有 6 4 种可能情况，其中，“一个六点都没有出现”包含了5 4 种；因此，一颗抛 4 次至少一个六点的概率为：,p1=1 0.52；,54 64,同理，“两颗骰子掷 24 次”一共有 36 24 种可能，其中，“一个双六都没有出现”包含了35 24 种；因此，两颗抛 24 次至少一个双六的概率为：,即，更可能的是一颗抛 4 次至少出现一个六点。,练习1.3.11 抛掷两颗骰子，最可能出现的点数和是哪一个？,p2=1 0.49,35 24 36 24,5.从装有 3 个黑球和 2 个白球的盒子中一个接 一个地随机取出 2 个小球。(1)分别计算第一个、第二个小球是黑球的概率；(2)取出的两个都是黑球的概率；(3)如果抽样的方式改成：一次就从 5 个小球中 取出 2 个，问取出的这两个都是黑球的概率。,说明：(1)中的两个概率相同，而这种结论对一般情况也成立；(2)与(3)的概率也相同。更一般地，无放回的抽样问题中，“一个接一个取”可以看成是“一次取若干”，算出的概率都是相同的。,第四节 几何概率,古典概型的本质特征：,样本空间中样本点个数有限，每一个样本点都是等可能发生的。,问题 1.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？,问题 2.已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 千平方公里的海域，调查人员每次出海搜索的区域面积为 50 平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？,几何概率模型：把古典概率模型中“样本点个数有限”的条件去掉，仍然保留“样本点等可能发生”。此时，不需要再给出每个样本点发生的概率,几何概率的计算公式,P(A)=,随机事件 A 包含的样本点测度样本空间 S 包含的样本点测度,3.古典概型中的“样本点个数”也是一种测度。,2.几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。,关于“测度”(measure)的理解,1.“测度”是一个数学概念，它是我们现实生活中的“度量”概念的数学抽象(一种集合函数)。,4.前面课程中对“概率”的定义就是一种测度定义。,p=0.3。,解.以两班车出发间隔(0，10)区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。,例1.4.1 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机 到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？,要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，,0 S 10,A 的长度 S 的长度,310,p=1=5/9。,解.以 7 点为坐标原点，小时为单位。x，y 分别表示两人到达的时间，(x，y)构成边长为 1 的正方形，显然这是一个几何概率问题。,例1.4.2 两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者 等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。,他们能见面的充要条件是|x y|1/3，因此，,A 的面积 S 的面积,49,