清华大学电路原理于歆杰3.ppt

清华大学电路原理教学组,问题的提出,3.1 支路电流法,3.3 回路电流法,第3章 线性电阻电路的分析方法和电路定理,3.2 节点电压法,清华大学电路原理教学组,3.4 叠加定理,3.5 替代定理,3.6 戴维南定理和诺顿定理,3.7 特勒根定理,3.8 互易定理,3.9 对偶原理,清华大学电路原理教学组,求图示电路中支路电流i1i6（各支路电压与电流采用关联参考方向）。,问题的提出,可用2b法求解电路。,问题：,方程数多（12个方程）,复杂电路难以手工计算,计算机的存储能力与计算能力要求高,有必要寻找减少列写方程数量的方法。,清华大学电路原理教学组,目的：找出求解线性电路的分析方法。,对象：含独立源、受控源的电阻网络。,应用：主要用于复杂的线性电路的求解。,基础,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.1 支路电流法（Branch Current Method）,举例说明,支路数 b=6,节点数 n=4,（1）取支路电流 i1 i6为独立变 量，并在图中标定各支路电流参考方向；支路电压u1 u6的参考方向 与电流的方向一致（图中未标出）。,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程 分析电路的方法。,清华大学电路原理教学组,（2）根据KCL列各节点电流方程,节点 1 i1+i2 i6=0,出为正 进为负,节点 2 i2+i3+i4=0,节点 3 i4 i5+i6=0,节点4 i1 i3+i5=0,节点 1 i1+i2 i6=0,节点 2 i2+i3+i4=0,节点 3 i4 i5+i6=0,可以证明：对有n个节点 的电路，独立的KCL方程只 有n-1个。,节点4设为参考节点,清华大学电路原理教学组,（3）选定b-n+1个独立回路，根据KVL列写回路电压方程。,回路1 u1+u2+u3=0,回路3 u1+u5+u6=0,回路2 u3+u4 u5=0,将各支路电压、电流关系代入 方程（2）,清华大学电路原理教学组,联立求解，求出各支路电流，进一步求出各支路电压。,图示电路用支路电流法求解所列写的方程：,清华大学电路原理教学组,独立节点：与独立方程对应的节点，有n-1个。,独立回路：与独立方程对应的回路。,平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,规 律,KCL:（n 1）个独立方程。,KVL:（b-n 1）个独立方程。,好找！,如何找？,清华大学电路原理教学组,如何选择独立回路,平面电路可选网孔作为独立回路。,一般情况（适合平面和非平面电路）。,每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。,清华大学电路原理教学组,支路法的一般步骤:,（1）标定各支路电流（电压）的参考方向；,（2）选定(n1)个独立节点，列写KCL方程；,（3）选定b(n1)个独立回路，列写KVL方程；,（4）求解上述方程，得到b个支路电流。,清华大学电路原理教学组,如何减少方程的数量？,支路电流法需要（b-n+1）个KVL方程，（n-1）个KCL方程。,如果能确定(n1)个独立节点的电压，就可以确定电路中所有支路的电压、电流。,以(n1)个独立节点的电压为变量列写方程,方程个数？,方程形式？,n1,KCL,选择参考节点，设所有其它节点的电压为未知变量。,清华大学电路原理教学组,由于电位的单值性，节点电压自动满足KVL方程。,(UA-UB)+UB-UA=0,UA-UB,UA,UB,任意选择参考点，节点电压就是节点与参考点的电压（降），也即是节点电位，方向为（独立）节点指向参考节点。,以节点电压为变量的 KVL自动满足,只需列写以节点电压为变量的KCL方程。,返回目录,清华大学电路原理教学组,节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。,3.2 节点电压法（Node Voltage Method）,举例说明,（2）列KCL方程,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,（1）选定参考节点，标明其余n-1个独立节点 的电压。,（1）,清华大学电路原理教学组,将支路电流用节点电压表出,将支路电流表达式代入（1）式,清华大学电路原理教学组,整理，得,（3）求解上述方程得节点电压。,（2）,式（2）简记为,G11un1+G12un2=isn1,G21un1+G22un2=isn2,清华大学电路原理教学组,G11=G1+G2+G3+G4 节点1的自电导，等于接在节点1上所 有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,令 Gk=1/Rk，k=1，2，3，4，5,清华大学电路原理教学组,iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,*电流源电流流入节点取正号，流出取负号。,清华大学电路原理教学组,将上述结论 推广到有n-1个独立节点的仅含电阻、电流源的电路,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之 和，总为正。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和。,Gij=Gji 互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支 路的电导之和，并冠以负号。,清华大学电路原理教学组,节点法的一般步骤：,（1）选定参考节点，标定n-1个独立节点；,（2）对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,（3）求解上述方程，得到n-1个节点电压；,（4）求各支路电流。,清华大学电路原理教学组,可 将该支路进行电源等效变换后，再列方程。,记Gk=1/Rk，得,特殊情况1：电路中含 电压源与电阻串联的支 路,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,I1=(120-UA)/20=4.91mA,I2=(UA-UB)/10=4.36mA,I3=(UB+240)/40=5.46mA,I4=UA/40=0.546mA,各支路电流：,解,I5=UB/20=-1.09mA,清华大学电路原理教学组,例 列写图示电路的节点电压方程。,方法1:先假设电压源支路的电流为I，列方程如下：,(G1+G2)U1-G1U2+I=0,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3-I=0,U1-U3=US,再增加一个节点电压与电压源间的关系：,特殊情况2：两个独立节点之间连接有理想电压源,清华大学电路原理教学组,方法2：选择合适的参考点（如图所示）,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,清华大学电路原理教学组,（1）先把受控源当作独立源看待，列方程：,例 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,解,特殊情况3：电路中含有受控电流源,清华大学电路原理教学组,（2）用节点电压表示控制量。,uR2=un1,思考：当电路中含有受控电压源时该如何列 写节点电压方程？,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.3 回路电流法（Loop Current Method）,基本思想:,以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表 示。,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未 知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,选图示的两个独立回路，设回路电流分别为il1、il2。,支路电流可由回路电流表出 i1=il1 i2=il2-il1 i3=il2,清华大学电路原理教学组,回路1 R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2 R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,回路法的一般步骤：,（1）选定l=b-n+1个独立回 路，标明各回路电流及方向。,（2）对l个独立回路，以 回路电流为未知量，列写KVL 方程；,（3）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。,清华大学电路原理教学组,自电阻 总为正,令R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,令R12=R21=R2 回路1、2间互电阻。是回路1、回路2之间公共支路的电阻。,当两个回路电流流过公共支路方向 相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和。,ul2=uS2 回路2中所有电压源电压升的代数和。,当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取正号；反之取负号。,清华大学电路原理教学组,推广到有 l 个回路仅含电阻、独立电压源的电路,其中,Rjk:第j个回路和 第k个回路的 互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,R11il1+R12il2+R1l ill=uSl1,R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2,Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSll,Rkk:第k个回路的自电阻(为正)，k=1,2,l,uSlk:第k个回路中所有电压源电压升的代数和。,清华大学电路原理教学组,回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向；,(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l个回路电流；,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回 路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称 为网孔电流法。,网孔电流法（mesh current method）,清华大学电路原理教学组,例,用回路法求各支路电流。,解,（1）设独立回路电流（顺时针）,（2）列 KVL 方程,(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2,-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic=US2,-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4,对称阵，且 互电阻为负,（3）求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic,（4）求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic,清华大学电路原理教学组,方法1：,(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui,-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2,-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui,IS=I1-I3,例 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,*引入电流源的端电压变量Ui列回路的KVL方程,*增加回路电流和电流源电流的关系方程,特殊情况1：电路中含有独立电流源支路,清华大学电路原理教学组,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路,则该回路电流即为 IS。,I1=IS,-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2,R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1,（1)将VCVS看作独立源建立方程；,（2)找出控制量和回路电流关系。,4Ia-3Ib=2,-3Ia+6Ib-Ic=-3U2,-Ib+3Ic=3U2,设回路电流Ia、Ib和 IC，参考方向如图所示。,特殊情况2：电路中含有受控电压源,清华大学电路原理教学组,将代入，得,各支路电流为：,I1=Ia=1.19A,*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=-0.52A,思考：当电路中含有受控电流源时该如何列 写回路电流方程？,清华大学电路原理教学组,支路法、回路法、节点法的比较,（2）对于非平面电路，选独立回路不容易，选独立节点较容易。,（3）回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络（电网络，集成电路设计等）采用节点法较多。,（1）方程数的比较,返回目录,清华大学电路原理教学组,叠加定理：,在线性电路中，任一支路电流（或电压）都是电路 中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或 电压）的代数和。,3.4 叠加定理（Superposition Theorem）,单独作用：一个电源作用，其余电源不作用,清华大学电路原理教学组,举例证明定理,uS1单独作用,uS2单独作用,uS3单独作用,清华大学电路原理教学组,R11ia+R12ib=uS11R21ia+R22ib=uS22,由回路法,R11ia1+R12ib1=uS1R21ia1+R22ib1=0,R11ia2+R12ib2=-uS2R21ia2+R22ib2=uS2,R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-uS3,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,推广到有 l 个回路的电路,第 j 个回路的回路电流,清华大学电路原理教学组,同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。,把 uSi 的系数合并为Gji,支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。,清华大学电路原理教学组,例1 用叠加定理求图中电压u。,解,(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路,u=4V,(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路,u=-42.4=-9.6V,共同作用：u=u+u=4+(-9.6)=-5.6V,清华大学电路原理教学组,(1)10V电压源单独作用：,(2)4A电流源单独作用：,解,US=-10 I1+U1,US=-10I1+U1,清华大学电路原理教学组,US=-10 I1+U1=-10 I1+4I1=-101+41=-6V,US=-10I1+U1=-10(-1.6)+9.6=25.6V,共同作用：,US=US+US=-6+25.6=19.6V,清华大学电路原理教学组,1.叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。不适用于非线性电路。,2.应用时电路的结构参数必须前后一致。,应用叠加定理时注意以下几点：,5.叠加时注意参考方向下求代数和。,3.不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。,4.含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。,清华大学电路原理教学组,齐性原理（homogeneity property),当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流)与激励成正比。,清华大学电路原理教学组,解,设 IL=1A,法二：分压、分流。,法三：电源变换。,法四：用齐性原理（单位电流法）,U,K=US/U,UL=K RL,IL=K A,法一：节点法、回路法。,可加性(additivity property),线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。,线性,例4,例5,例6,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.5 替代定理（Substitution Theorem）,任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。,替代定理,清华大学电路原理教学组,证明:,AC等电位,清华大学电路原理教学组,例 已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流I的1/6，求此电阻值。,方法一：,RL=9,清华大学电路原理教学组,替代,方法二：,叠加,+,清华大学电路原理教学组,注意：,3.未被替代支路的相互连接及参数不能改变。,1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。,2)被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。,1)原电路和替代后的电路必须有唯一解。,2.替代定理的应用必须满足的条件:,返回目录,清华大学电路原理教学组,1.几个名词,(1)端口（port）,端口指电路引出的一对端钮，其中 从一个端钮（如a）流入的电流一定等 于从另一端钮（如b）流出的电流。,(2)一端口网络（network）,网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。,3.6 戴维南定理和诺顿定理（Thevenin-Norton Theorem）,清华大学电路原理教学组,2.戴维南定理,任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源（Uoc）和电阻Ri的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。,证明：,（对a）,利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u、i值不变。计算 u 值。（用叠加定理）,=,+,根据叠加定理，可得,电流源i为零,网络A中独立源全部置零,u=Uoc（外电路开路时a、b间开路电压）,u=-Ri i,则,u=u+u=Uoc-Ri i,此关系式恰与图（b）电路相同。,清华大学电路原理教学组,小结：,（1）戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时 的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向相同。,（2）串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零（电压 源短路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。,等效电阻的计算方法：,a.当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算；,b.端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电 源置零）。,c.等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部 独立电源保留）。,（3）当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源 支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。,清华大学电路原理教学组,解,保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：,清华大学电路原理教学组,（1）求开路电压,Uoc=U1+U2=-104/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V,（2）求等效电阻Ri,Ri=4/6+6/4=4.8,(3)Rx=1.2时，,I=Uoc/(Ri+Rx)=0.333A,Rx=5.2时，,I=Uoc/(Ri+Rx)=0.2A,Rx=Ri=4.8时，其上获最大功率。,清华大学电路原理教学组,含受控源电路戴维南定理的应用,电路如图所示，求电压UR。,例2,解,（1）求开路电压Uoc。,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,清华大学电路原理教学组,（2）求等效电阻Ri,方法1 端口加压求流（内部独立电压源短路）,U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0=9(2/3)I0=6I0,Ri=U0/I0=6,方法2 开路电压、短路电流,（Uoc=9V）,6 I1+3I=9,I=-6I/3=-2I,I=0,Isc=I1=9/6=1.5A,Ri=Uoc/Isc=9/1.5=6,清华大学电路原理教学组,（3）等效电路,下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。,控制量呢？,清华大学电路原理教学组,任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端 口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻（电导）的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的 短路电流，而电阻（电导）等于把该一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻（电导）。,3.诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。,清华大学电路原理教学组,例,电路如图所示，求电流I。,（1）求端口的短路电流Isc。,I1=12/2=6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A,解,清华大学电路原理教学组,（2）求Ri：电压源短路，用电阻串并联。,Ri=102/(10+2)=1.67,（3）诺顿等效电路:,I=-Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83A,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.7 特勒根定理（Tellegens Theorem）,1.具有相同拓扑结构的电路,两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路 与节点的联接关系也相同。,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,解,清华大学电路原理教学组,2.特勒根定理,注意（1）对应支路取相同的参考方向。（2）各支路电压、电流均取关联的参考方向。,清华大学电路原理教学组,证明：,其中：,若节点接有另一支路m，同理可得：,对节点可得：,对其它节点，有同样的 结果，故：,同理可证：,清华大学电路原理教学组,3.功率守衡定理,在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零，即,此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。,将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。,清华大学电路原理教学组,解 由特勒根定理,清华大学电路原理教学组,方框内为同一网络,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,解,根据特勒根定理,由（1）得：U1=4V，I1=2A，U2=2V，U2/R2=1A,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.8 互易定理（Reciprocity Theorem）,第一种形式:,激励（excitation）为电压源，响应（response）为电流。,给定任一仅由线性电阻构成的网络（见下图），设支路 j中有电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj（图a）；若支路k中有电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk（图b）。,清华大学电路原理教学组,当 uk=uj 时，ikj=ijk。,则两个支路中电压电流有如下关系：,清华大学电路原理教学组,设a-b支路为支路1，c-d支路为支路2，其余支路为3b。图（a）与图（b）有相同拓扑特征，（a）中用uk、ik表示支路电 压和电流，（b）中用 支路电压和电流（支路电压/电流均取为关联 方向）。,证明：,由特勒根定理：,清华大学电路原理教学组,即,两式相减，得,清华大学电路原理教学组,将图（a）与图（b）中支路1，2的条件代入，即,即：,当 uk=uj 时，ikj=ijk。,清华大学电路原理教学组,第二种形式:,激励是电流源，响应是电压。,在任一线性电阻网络的一对节点 j 和 j间接入电流源 ij，它在另一对节点 k 和 k产生电压ukj（见图（a）；若改在节点 k 和 k 间接入电流源 ik，它在节点 j 和 j 间产生电压 ujk（图（b），则上述电压、电流有如下关系：,当 ik=jj 时，ukj=ujk。,由读者自己证明。,清华大学电路原理教学组,解,利用互易定理，可得下图,I1=I 2/(4+2)=2/3A,I2=I 2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-0.667A,清华大学电路原理教学组,（1）互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。,（2）激励为电压源时，响应为电流。激励为电流源时，响应为电压。,（3）电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串 入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另 一支路的两个节点间。,（4）互易要注意电压源（电流源）与电流(电压)的方向。,（5）含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理时应注意：,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.9 对偶原理（Dual Principle）,一、对偶电路（dual circuit）,网孔电流方程,(R1+R2)il=uS,节点电压方程,(G1+G2)un=iS,若R1=G1，R2=G2，uS=iS,则两方程完全相同，解答 il，un 数值也相同。,清华大学电路原理教学组,例2,网孔方程,节点方程,上述每例中的两个电路称为对偶电路。,将方程（1）中所有元素用其对偶元素替换得方程（2）。,若R1=G1，R2=G2，R3=G3，uS1=iS1，rm=gm，则两 个方程组相同，其解答也相同，即un1=il1，un2=il2。,清华大学电路原理教学组,二、对偶元素（见书）,三、对偶原理,只有平面电路才有对偶电路。,四、如何求一个电路的对偶电路,打点法：网孔对应节点（外网孔对应参考节点）。,注意：,两个对偶电路N，如果对电路N有命题（或陈述）S 成 立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶元素替换，所得 命题（或陈述）对电路 成立。,清华大学电路原理教学组,例1,例2,清华大学电路原理教学组,（2）各对偶元素进行替换。数值相同，量纲不同。,注意：,（1）每一网孔对应一节点，外网孔对应参考节点。参考方向：按惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压方向由独 立节点指向参考节点。,清华大学电路原理教学组,（3）电源方向（在按惯例选取网孔电流和节点电压 方向的前提下）,清华大学电路原理教学组,End,返回目录,