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第五章 插值型数值微分与数值积分,5.1 插值型数值微分公式5.2 插值型数值积分,5.1 插值型数值微分公式,当 x 为插值节点 时，上式简化为,故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，f以便估计误差。,一般地,这类公式称为插值型数值微分公式。,常用的数值微分公式,1.两点公式(n=1),这称为两点公式。,即,截断误差,2.两点公式(n=2),即,二阶导数（不要记忆）,例1：已知列表,解:h=0.05,例 5.1 为计算 在 x=2 处的一阶导数值，我们可选用中点公式,当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。,而精确值为，可见当 h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。,为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f(x)四阶连续可微，故得,从而得到误差估计式,5.2 插值型数值积分,插值型数值积分的思想是：若已知 则利用拉格朗日插值多项式建立近似计算公式,这里,称为插值型求积公式，称为求积节点，,称为求积系数，其和,下面求求积系数，设等距节点情形，即,牛顿-柯特斯公式,特别地,这称为梯形公式；,几何意义：用梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。,这称为Simpsion公式,几何意义：用抛物线替 作曲边的曲边梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。,这称为Cotes公式。,对应于 情形的Cotes系数见表5-2(书106页)。,复合求积公式,求积公式的稳定性分析：,等距节点的插值求积公式，当n较大（n7）时，系数中出现负数，而且有正有负，这将使舍入误差增大并难于估计，因此实际计算时一般不用n较大的公式，而是将积分区间(a,b)分成n个小区间，在每个小区间上用低阶New-Cotes公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些有实际意义的求积公式，称为复合求积公式。,1.复合梯形公式(n=1,简记为Tn),3.复合Cotes公式(n=4，简记为Cn)(公式见书107页）,2.复合Simpson公式(n=3,简记为Sn),2.确定h,解：1写出公式,例 1 计算，求,4.由表格计算结果,0 1 4 1 1 1 1 1.0625 3.7641 2 4 2 1.25 3.200 2 4 2 3 1.5625 2.5600 2 4 4 2 2 1 1 1 25.0494 18.8 37.6988,3.列表,例 2 试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分,解,三、求积公式的误差：,1.梯形公式误差：,大区间上的误差记为：,2.Simpson公式误差,不难推出,3.Cotes公式误差,四、变步长法则,1.基本思想,上面介绍的复化求积公式对提高进度是有效的，但是在使用求积公式之前，必须给出适当的步长。如果事先给出精度要求，在使用复化求积公式时，由于误差估计式中含有，而这是不知道的，因而h无法确定，也就是说无法进行事前误差估计，这就必须寻求事后估计误差的方法逐次分半法。,基本思想：在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到二分前后两次积分值相当符合为止。,2.变步长法则逐次分半法,以梯形公式为例：,所以,逐项二次区间，只要相邻两次近似值之差小于，则后一次值即为所求，这时h也为所求步长，这就是变步长法则。,在上述变步长求积过程中，当二分次数越来越多时，每一步都要用复化求积公式，计算量非常大，所以要对上述方法进行改进。,3.变步长求积的省算方案（以梯形法为例),simpson,cotes公式也可类似进行处理。,例 1 计算，用 计算,0 0 0 1 1 1 1/8 0.1247 0.9976 1 2 2/8 0.2474 0.9896 1 3 3/8 0.3663 0.9768 1 4 4/8 0.4794 0.9588 1 5 5/8 0.5851 0.9362 1 6 6/8 0.6816 0.9088 1 7 7/8 0.7675 0.8777 1 8 8/8 0.8415 0.8415 1,例 2 试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分 使误差小于。,解,一般的计算结果见表5-4(书112页)。,5.龙贝格积分法,在上述变步长法则解决了误差的估计，又给出了省算方案，但当精度要求很高时，计算量是很大的，那么我们就要寻找一种方法，相对计算量小些，而精度又高。我们先考虑：,我们分析一下：,我们在变步长求积过程中，运用加速公式：,其计算公式为,注：这样的计算格式可根据精度自动停机。只要竖线上相邻两结果之差不超过给定精度为止。计算过程实质是将区间逐次分半计算，然后利用加速公式，故又叫逐次分半加速法。,例 1:用龙贝格计算,解:第一步 计算 f(a),f(b),第二步 区间分半，计算,第三步 区间分半，算出,第四步 再分半，求,第四步 求,列表：区间分数 T S C R 1 3.00000 2 3.10000 3.13333 4 3.13118 3.14157 3.14214 8 3.13899 3.14159 3.14159 3.14158 16 3.14094 3.14159 3.14159 3.14159,可知：,例 5.4 试用龙贝格积分法求解例5.3的定积分 使误差小于,用龙贝格积分法求解得到表5-5（书116页）。由于，故取,与例5.3比较可见，对于该积分采用梯形公式的步长逐次减半算法计算所需乘除工作量为，并需计算 个点上的函数值，而采用龙贝格积分法计算则需要乘除工作量，与前者相同，但只需计算 个点上的函数值，远远低于前者，因此，后者的总计算量远远低于前者，龙贝格积分法的加速效果十分显著。,解,
