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第五章 最优化分析,第一节 最优化问题,经济学基本上是一门关于选择的科学。当要实现一个特定的经济目标，通常有许多可供选择的方式。但是在这诸多选择中，按照某一标准，会有一种方式会比其它方式更好；根据所规定的标准，选择最适宜的方式，这就是最优化问题。一 目标均衡和非目标均衡 最优化：一类特殊的均衡分析 最优化的古典方法-微积分法,二、最优化与极值,最优化是经济概念极值是数学概念最优化问题-数学问题的转化1 确定目标函数-因变量表示最大最小的对象2 选择变量-自变量的选择影响目标的最优化数学问题的解决 y=f(x)求极值,第二节 单目标无约束最优化决策问题的解法,1 相对极值与绝对极值常数函数单调函数一般函数2 一阶导数检验导数不存在导数为0,导数为0 是极值点的必要条件 充分条件3 二阶导数检验,第二节 利润最大化,一 求导法 目标函数利润 一阶导数检验 令（Q）=0 R(Q)=C(Q)即 MR=MC 二阶导数检验 R(Q)C(Q),=(Q)=R(Q)-C(Q),二 图示法,第三节有约束最优化问题的解法,约束最优化约束的数量和性质应当是限制选择的可能性，而不是排除选择的可能性。一般而言，约束的数量应少于选择变量的数量。,一拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法的实质是将约束极值问题转化成这样一种形式，从而使得自由极值问题的一节条件仍可以使用。解法例 给定U=x1x2+2x1,约束条件4x1+2x2=60,求U的极大值。先写拉格朗日函数Z=x1x2+2x1+（4x1+2x2-60）,将看做是一个额外的变量，筛选Z的稳定值。即Z对各变量求导，令为0，得到一组解。Z=0ZX1=0ZX2=0得到验证极值练习,二 效用最大化与消费需求,TU U（x，y）,(Ux 0,Uy 0)预算约束 xPx+yPy=BZ=U（x，y）+(xPx+yPy-B)Z=xPx+yPy-B=0ZX1=Ux-Px=0ZX2=Uy-Py=0,得到Ux/Px=Uy/Py=xPx+yPy=BUx/Uy=Px/Pyy=B/Py-Px/Py*x,三 图形法,TU U（x，y）预算约束 xPx+yPy=B,第四节产量最大化成本最小化,生产函数常写 Q=f(L，K)在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的各种不同组合的轨迹。以常数Q0表示既定的产量水平，则与等产量曲线相对应的生产函数为：Q=f(L,K)=Qo若用劳动L去替代资本K，边际技术替代率表示为MRTSLK，劳动L去替代资本K的数学表达式为：MRTSLK=DKD,成本约束 C=wL+rK Q=f(L，K)C=wL+rK 求极值得到,图形法,关于产量既定条件下的成本最小化,1、已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1=20元和P2=30元，该消费者的效用函数为U=3X1X22，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？2、已知某企业的生产函数为Q=L2/3K1/3，劳动的价格w=2，资本的价格r=1。求：（1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡量。（2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡量。,第四节 线性规划节选（Linear Programming）,线性规划问题通常解决当任务确定后，如何分配安排用最少的资源完成目标；或是在一定的资源条件下，如何安排生产，产生最好的效益。数学模型有三要素(lp模型)决策变量约束条件目标函数,图形法和单纯形法,线性规划问题一般有两种方法图解法：两个变量，直角坐标；三个变量，立体坐标单纯形法适用于任意变量，但必需将一般形式变成标准形式只有两个决策变量属于较简单的问题，使用图解法更简单、直观，便于初学者了解基本思想与方法。,图解法,使用图解法的条件模型三要素决策变量（有两个自变量）约束条件 目标函数基本概念可行解：满足所有约束条件的解（决策变量的值）可行域：所有可行解的集合最优解：使目标函数达到最大值（最小值）的可行解,例,某车间生产甲乙两种产品，每个产品的利润分别为2元，3元，车间现有劳力24个，制甲需原料2斤，制乙需原料1斤，车间有原料10斤，如何安排生产？Y=2x+3y3x+6y 242x+y 10,建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系确定可行域（先确定每个约束条件所代表的区域，它们的公共部分即为可行域，用阴影表示）做目标函数先，寻找函数线，寻找最优解。（试探法）如果此类问题有解，则最优解一定可以在可行域的某个顶点上得到。,第五节严格不确定性最优化问题,根据决策结局的多少，可以将决策分为确定型决策（每个方案只有一个结局）和不确定型决策（每个方案有多个结局）由于不确定型决策问题所面临的几个自然状态是不确定，是完全随机的，使不确定型决策始终伴随着一定的盲目性。决策者的经验和性格常常在决策中起主导作用。决策准则包括乐观准则、悲观准则、乐观系数准则、后悔值准则等。,一 最大最小准则,maxmin悲观准则是指对于任何行动方案，都认为将是最坏的状态发生，即收益值最小的状态发生。然后，比较各行动方案实施后的结果，取具有最大收益值的行动为最优行动的决策原则，也称为最大最小准则。某公司需要根据下一年度宏观经济的增长趋势预测决定投资策略。宏观经济增长趋势有不景气、不变和景气3种，投资策略有积极、稳健和保守3种，各种状态的收益如下表所示。基于maxmin悲观准则的最佳决策是（56）。,题目表中给出的三种投资策略，收益值最小的分别是积极时为50，稳健时为100，保守时为200，那么最大收益值是200，即基于maxmin悲观准则的最佳决策对应的行动是保守投资。,二乐观准则(最大最大法则),决策者从最有利的角度去考虑：先选择每个方案在不同自然状态下的最大收益值，然后在最大的收益值里选择最大的，从而确定行动方案。,例,某企业拟定了三个生产方案，方案一（a1）为新建两条生产线，方案二（a2）为新建一条生产线，方案三（a3）为扩建原有生产线，改进老产品，在市场预测的基础上，估算了各个方案在市场需求的不同情况下的条件收益值如下表（净现值，单位：万元），但市场不同需求状态的概率未能测定，试用最大最大决策准则对此问题进行决策分析。,三最小最大后悔值法,最小最大后悔值法也称萨凡奇决策准则是指管理者在选择了某方案后，如果将来发生的自然状态表明其他方案的收益更大，那么他(或她)会为自已的选择而后悔。最小最大后悔值法就是使后悔值最小的方法。,最小最大后悔值法的操作,采用这种方法进行决策时，首先计算各方案在各自然状态下的后悔值(“某方案在某自然状态下的后悔值”=“该自然状态下的最大收益”-“该方案在该自然状态下的收益”)，并找出各方案的最大后悔值，然后进行比较，选择最大后悔值最小的方案作为所要的方案。,在上例中，在销路好这一自然状态下，b方案(新建生产线)的收益最大，为240万元。在将来发生的自然状态是销路好的情况下，如果管理者恰好选择了这一方案，他就不会后悔，即后悔值为O。如果他选择的不是b方案，而是其他方案，他就会后悔(后悔没有选择 b方案)。比如，他选择的是c方案(与其他企业协作)，该方案在销路好时带来的收益是100万元，比选择b方案少带来140万元的收益，即后悔值为140 万元。各个后悔值的计算结果，见下表所示：,由表中看出，a方案的最大后悔值为6 0万元，b方案的最大后悔值为9 6万元，c方案的最大后悔值为140万元，经过比较，a方案的最大后悔值最小，所以选择a方案。,最小最大后悔值法的运用,在股票市场上，最小最大后悔值法被称为最小后悔法，是股票投资者力图使后悔值降到最低限度的证券投资方法。由于选取的购买方案往往与预测的企业经营状况存在很大的差异，这样就会出现实际收益大大低于目标收益的状况而使投资者产生后悔。最小后悔法的目的就是要使投资者将这种后悔降低到最低程度。,利用最小后悔法买卖股票的操作程序：1、列出投资者在各种状态下的购买方案，并在每一购买方案中选出各自然状态下的最大收益值。2、求出各种自然状态下各种方案的后悔值，其后悔值的公式是：“某方案后悔值”“某自然状态下的最大收益值”-“该方案的收益值”，然后，将此方案的后悔值填入该方案栏中。3、由此找出各方案在不同自然状态下的最大后悔值。4、在各方案的最大后悔值中找出最小的后悔值，最小后悔值所对应的方案即为最优方案。,由上表进行的计算可知，最大后悔值中的最小后悔值为40，故而选取后悔值40所对应的中批购买方案。这样，不论公司的经营状况如何，只要选择中批购买方案，都可将未来的后悔值降至最低。最小后悔法适合于那些“老爱吃后悔药”的股票投资者使用。,四折衷准则(乐观系数准则),取乐观准则和悲观准则的折衷，定一个乐观系数，然后计算。,加权系数(0 1)max(maxVij)+(1-)(minVij),=0.6,
