MATLAB语言及应用-第六章.ppt

第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.1 符号计算基础6.1.1 符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,第6章 MATLAB符号计算,例6.1考察符号变量和数值变量的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义 4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=a,b;c,d%建立符号矩阵AB=w,x;y,z%建立数值矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A的行列式det(B)%计算数值矩阵B的行列式,第6章 MATLAB符号计算,(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,第6章 MATLAB符号计算,2.建立符号表达式符号表达式可以采用单引号或sym/syms函数定义例6.2用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%定义符号表达式Usyms x y;%建立符号变量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V2*U-V+6%求符号表达式的值,第6章 MATLAB符号计算,例6.3计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：syms a b c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值,第6章 MATLAB符号计算,例6.4建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y;f=sym(f(x,y),第6章 MATLAB符号计算,6.1.2 基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例6.5符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y z;f=2*x+x2*x-5*x+x3%结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y),第6章 MATLAB符号计算,(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式,S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开,S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项,S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,第6章 MATLAB符号计算,例6.6 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A)%对A的每个元素分解因式,第6章 MATLAB符号计算,例6.7 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式,第6章 MATLAB符号计算,练习：1 展开符号表达式 f1=(x+1)7和 f2=cos(x+y)。expand(S)2 展开符号表达式(x+3)(x+t)(y-1)和(x-2)2(x+1)-x2。3 因式分解符号表达式 x5-y5。factor(S)4 对符号表达式(x-ex)(x+y)进行同类项合并。collect(S)5 按照不同方式合并表达式(x2-aey)(axy+e2yx)。,第6章 MATLAB符号计算,(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简，它可以完成对指数、对数、三角函数等各种数学表达式的化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程，返回表达式的最简形式。,第6章 MATLAB符号计算,例6.8化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果练习：简化符号表达式sin2x-cos3x+sin2x。,第6章 MATLAB符号计算,2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。Q,D=eigensys(S)Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。,第6章 MATLAB符号计算,6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,第6章 MATLAB符号计算,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.2 符号导数及其应用函数的极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)计算符号表达式f在xa条件下的极限limit(f,a)计算f在默认自变量趋于a条件下的极限limit(f)计算f在默认自变量趋于0条件下的极限limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right)或 limit(f,x,a,left),第6章 MATLAB符号计算,例6.10求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x(包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left)%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right)%求极限(4),第6章 MATLAB符号计算,6.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,第6章 MATLAB符号计算,例6.11求函数的导数。命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x的三阶导数,第6章 MATLAB符号计算,f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x)%求(4)。z对x的偏导数diff(f,y)%求(4)。z对y的偏导数,第6章 MATLAB符号计算,f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,第6章 MATLAB符号计算,例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x);y=x3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4,第6章 MATLAB符号计算,练习：试对表达式f(x,y)=x3-5x2y+y2求一阶偏导和二阶偏导。,第6章 MATLAB符号计算,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.3 符号积分不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,第6章 MATLAB符号计算,例6.13求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简练习：计算积分,第6章 MATLAB符号计算,6.3.2 符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b),第6章 MATLAB符号计算,例6.14求定积分。命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)%求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t)%求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值,第6章 MATLAB符号计算,例6.15求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c,第6章 MATLAB符号计算,6.3.3 积分变换1.傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t)求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,第6章 MATLAB符号计算,例6.18求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%求Ft的傅立叶逆变换,第6章 MATLAB符号计算,2.拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,第6章 MATLAB符号计算,例6.19计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,第6章 MATLAB符号计算,3.Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n)求Fz的z变换原函数f(n),第6章 MATLAB符号计算,例6.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n)%求Fz的逆Z变换,第6章 MATLAB符号计算,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.4 级数6.4.1 级数的符号求和级数符号求和函数symsum，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn),第6章 MATLAB符号计算,例6.22求级数之和。命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf)%求s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%求s2。未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*xn,n,1,inf)%求s3。此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n2,1,100)%求s4。计算有限级数的和,第6章 MATLAB符号计算,6.4.2 函数的泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a),第6章 MATLAB符号计算,例6.24将多项式表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=taylor(p,x,-1,4),第6章 MATLAB符号计算,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.5代数方程的符号求解线性方程组的符号求解MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为：linsolve(A,b),第6章 MATLAB符号计算,6.5.2 非线性方程组的符号求解求解非线性方程组的函数是solve，调用格式为：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN),第6章 MATLAB符号计算,例6.28 解方程。命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x)%解方程(1)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f)%解方程(2)x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1)%解方程(3)x=solve(x+x*exp(x)-10,x)%解方程(4)。仅标出方程的左端,第6章 MATLAB符号计算,第6章 MATLAB符号计算,6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解,6.6常微分方程的符号求解MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。,第6章 MATLAB符号计算,dsolve在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,第6章 MATLAB符号计算,例6.30 求微分方程的通解。命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x)%解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x)%解(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x)%解(3),第6章 MATLAB符号计算,例6.31 求微分方程的特解。命令如下：y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x)%解(1)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x)%解(2),第6章 MATLAB符号计算,例6.32 求微分方程组的解。命令如下：x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t)%解方程组(1)x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t)%解方程组(2),第6章 MATLAB符号计算,thank you!,