MATLAB求解数学问题.ppt

2023/7/7,黄建华制作,0,（四）MATLAB求解数学问题,数学分析概率论与数理统计插值与拟合优化运算线性代数复变函数,2023/7/7,黄建华制作,1,4.1数学分析,符号方程的求解极限导数与微分(重)积分曲线积分与曲面积分 空间解析几何与向量代数级数微分方程,2023/7/7,黄建华制作,2,符号方程的求解,主要内容 线性方程 非线性方程,2023/7/7,黄建华制作,3,符号方程的求解,线性方程 常用solve()和linsolve()函数来解决线性方程问题。具体格式：X=solve(方程1,.方程n,变量1,.变量m)说明：可以求解方程组，单变量时变量声明可以省略。X=linsolve(A,B)%求解线性方程组AX=B，返回特解X,2023/7/7,黄建华制作,4,符号方程的求解,例求解方程：命令：clear;x=solve(x2-x-6=0)相当于：clear;syms x;f=x2-x-6;x=solve(f)x=3-2,2023/7/7,黄建华制作,5,符号方程的求解,例4.1.2 求解方程组：命令：clear;x,y=solve(x2+y-6=0,y2+x-6=0,x,y)x=2 y=2-3-3 1/2-1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2-1/2*21(1/2)若将x,y=改用X=，则仅将返回一个解的结构。,X=x:4x1 sym y:4x1 sym,2023/7/7,黄建华制作,6,符号方程的求解,例4.1.3 求解方程组：命令：clear;A=5,0,4,2;1,-1,2,1;4,1,2,0;1,1,1,1;b=3;1;1;0;X=linsolve(A,b)X=1.0000-1.0000-1.0000 1.0000,2023/7/7,黄建华制作,7,符号方程的求解,非线性方程 常用fsolve()函数来解决非线性方程问题。具体格式：X=fsolve(fun,x0,options)说明：fun为定义好的非线性方程(组)的文件名，其中为调用函数符号；x0为求解方程的初始向量；options设置求解过程的各种参数，一般采用默认参数optimset(fsolve),其他参数可以查询帮助。,2023/7/7,黄建华制作,8,符号方程的求解,例4.1.4 求解方程组：x0=x(1),x(2)=0.1,0.1,2023/7/7,黄建华制作,9,符号方程的求解,首先建立函数文件fun.m并保存在默认路径下：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2),.x(2)-0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);然后运行命令：clear;x0=0.1,0.1;x=fsolve(fun,x0,optimset(fsolve)x=0.5414 0.3310,2023/7/7,黄建华制作,10,极限,主要内容单变量函数的极限多变量函数的极限,2023/7/7,黄建华制作,11,极限,单变量函数的极限首先进行符号变量说明:syms x y t h a 然后定义函数fun，再使用下列命令格式求对应极限:limit(fun,x,a)%求函数fun当xa时的极限limit(fun,a)%默认变量x或唯一符号变量limit(fun)%默认变量x,且a=0limit(fun,x,a,right)%右极限 xa+limit(fun,x,a,left)%左极限 xa-,2023/7/7,黄建华制作,12,极限,例4.1.5 举例:结果 syms x h a f=sin(x)/x;limit(f)1 limit(f,inf)0 limit(x-2)/(x2-4),2)1/4 limit(1/x,x,0,right)inf limit(1/x,x,0,left)-inf limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)cos(x)limit(1+a/x)*sin(x),x,a)2*sin(a),2023/7/7,黄建华制作,13,极限,例试求解极限问题:解：syms x a b;f=x*(1+a/x)x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)L=exp(a)*b,2023/7/7,黄建华制作,14,极限,多变量函数的极限 假设有二元函数求极限问题：则可以嵌套使用limit()函数:limit(limit（fun,x,x0),y,y0)或 limit(limit（fun,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，则顺序不能交换。注意：此种用法只适用于极限存在的情况。,2023/7/7,黄建华制作,15,极限,例4.1.7 求出二元函数极限值:解：syms x y;f=sin(x*y)/x;L=limit(limit(f,x,0),y,0)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)L=0 L1=0,2023/7/7,黄建华制作,16,极限,例4.1.8 求出二元函数极限值:解 syms x y k;f=(x2-y2)/(x2+y2);(1)L=limit(limit(f,x,0),y,0)(2)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)(3)L2=limit(limit(f,y,k*x),x,0)L=-1 L1=1 L2=-(-1+k2)/(1+k2),2023/7/7,黄建华制作,17,导数和微分,主要内容导数和高阶导数高阶混合偏导数复合函数求导隐函数求偏导参数方程求导导数的应用梯度计算和方向导数,2023/7/7,黄建华制作,18,导数和微分,导数和高阶导数首先进行符号变量说明:syms 然后定义函数f，再使用下列命令格式求对应导数:diff(f)%f对默认变量x求一阶导数diff(f,v)%f 对变量v求一阶导数diff(f,n)%f对默认变量x 求n阶导数diff(f,v,n)%f 对变量v 求n阶导数显然，用以上命令可以实现求各阶纯偏导。微分与导数是共通的，只须将求导答案变形一下即可！,2023/7/7,黄建华制作,19,导数和微分,例 命令：syms a x y;f=x3+y2+a*x*y-3*x+7;f1=diff(f)结果：f1=3*x2+a*y-3 f2=diff(f,y)f2=2*y+a*x f3=diff(f,2)f3=6*x f4=diff(f,y,2)f4=2,2023/7/7,黄建华制作,20,导数和微分,高阶混合偏导数假设有多元函数求偏导问题：则可以嵌套使用diff()函数:命令格式:diff(difft(f,x,m),y,n)或 diff(diff(f,y,n),x,m),2023/7/7,黄建华制作,21,导数和微分,例 求：命令：syms x y;z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);zxzy=diff(diff(z,x),y)zxzy=(2*x-2)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y),2023/7/7,黄建华制作,22,导数和微分,化简一下：命令：zxzy1=simple(zxzy)zxzy1=exp(-x2-y2-x*y)*(-4*x*y-3*x2+4*y+4*x+5*x3*y+2*x4+2*x2*y2-10*x2*y-4*x3-4*x*y2),2023/7/7,黄建华制作,23,导数和微分,例 求：命令：syms x y;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);ydx=-diff(f,x)/diff(f,y)ydx=(-(2*x-2)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*(-2*x-y)*exp(-x2-y2-x*y)/(x2-2*x)/(-2*y-x)/exp(-x2-y2-x*y),2023/7/7,黄建华制作,24,导数和微分,复合函数求导例 已知：求：命令：syms t x y;t=exp(sin(x);y=sin(exp(t);ydx=diff(y,x)ydx=cos(exp(exp(sin(x)*cos(x)*exp(sin(x)*exp(exp(sin(x)注意不能将t=exp(sin(x);y=sin(exp(t);输入顺序颠倒，否则结果0。,2023/7/7,黄建华制作,25,导数和微分,隐函数求偏导假设有隐函数表达式f(x1,x2,xn)=0,求偏导问题：可以使用diff()函数,命令格式:F=-diff(f,xj)/diff(f,xi),2023/7/7,黄建华制作,26,导数和微分,例4.1.13 已知 求：命令：clear;syms x y;F=atan(y/x)-log(sqrt(x2+y2);ydx=-diff(F,y)/diff(F,x)ydx=(-1/x/(1+y2/x2)+1/(x2+y2)*y)/(-y/x2/(1+y2/x2)-1/(x2+y2)*x)simple(ydx)ydx=(x-y)/(y+x),2023/7/7,黄建华制作,27,导数和微分,参数方程求导假设有参数方程表达式y=f(t),x=g(t),求导数：可以使用diff()函数的递归调用,命令格式:dk=diff(dk-1,t)/diff(x,t)其中dk-1表示k-1阶导数注意不能用：dk=diff(y,t,k)/diff(x,t,k),2023/7/7,黄建华制作,28,导数和微分,例 已知 求：命令：syms a b t x y;x=a*cos(t);y=b*sin(t);d1=diff(y,t)/diff(x,t)d1=-b*cos(t)/a/sin(t)pretty(simple(d1)b-a tan(t),2023/7/7,黄建华制作,29,导数和微分,d2=diff(d1,t)/diff(x,t)d2=-(b/a+b*cos(t)2/a/sin(t)2)/a/sin(t)pretty(simple(d2)b-2 2 a(-1+cos(t)sin(t),2023/7/7,黄建华制作,30,导数和微分,若改用：xd2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2)xd2=b*sin(t)/a/cos(t)pretty(simple(xd2)b tan(t)-a显然不同。,2023/7/7,黄建华制作,31,导数和微分,导数的应用例 讨论函数 的极值、单调性和其导数函数的关系。命令：clear;syms x y dy d2y;y=x2/(1+x2);dy=simple(diff(y);pretty(dy)x 2-2 2(1+x),2023/7/7,黄建华制作,32,导数和微分,Px=solve(dy)Px=0 d2y=simplify(diff(y,2)d2y=-2*(-1+3*x2)/(1+x2)3 P2x=solve(d2y)P2x=-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2),2023/7/7,黄建华制作,33,导数和微分,lims=-5,5;subplot(3,1,1);ezplot(y,lims);hold on;line(0,0,-0.5,1.5),line(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-0.5,1.5);line(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-0.5,1.5);subplot(3,1,2);ezplot(dy,lims);hold on;line(0,0,-1,1.5);line(-5,5,0,0);%同时绘制横轴subplot(3,1,3);ezplot(d2y,-5,5);hold on;line(-5,5,0,0);line(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-1,1.5);line(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-1,1.5);,2023/7/7,黄建华制作,34,导数和微分,2023/7/7,黄建华制作,35,导数和微分,梯度计算和方向导数jacobian(fun,v)%v是求导变量向量，表示fun对 v求偏导矩阵即梯度gridient(F)%求F的数值梯度，一维时可用diff代替dot（jacobian(fun)，v）=jacobian(fun)v%v是某方向的单位向量，数量积就是方向导数,2023/7/7,黄建华制作,36,积分,主要内容不定积分定积分与无穷积分重积分数值积分,2023/7/7,黄建华制作,37,积分,不定积分 不定积分问题：可以使用int()函数:F=int(fun,x)或 F=int(fun)%当fun中只有一个自变量x，则x可省 最终答案应为：F(x)+C,2023/7/7,黄建华制作,38,积分,例4.1.16 用diff()函数求的4阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。命令：syms x;y=sin(x)/(x2+4*x+3);y4=diff(y,4);y0=int(int(int(int(y4);pretty(simple(y0)%对导数积分应该得出原函数 sin(x)-(x+1)(x+3),2023/7/7,黄建华制作,39,积分,例证明：命令：syms a x;f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x);f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+.(3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x);simple(f-f1)%求两个结果的差-3/16/a4 结果是一个常数，表明答案正确。,2023/7/7,黄建华制作,40,积分,例不可积问题：命令：syms x;int(exp(x2)ans=-1/2*i*pi(1/2)*erf(i*x)结果中的erf是一个定义的函数：表明不可积！,2023/7/7,黄建华制作,41,积分,定积分与无穷积分 定积分问题：可以使用int()函数:int(fun,x,a,b)若为无穷积分问题，则只需将命令中a(或b)改为-inf(或inf)即可。如求：用：int(fun,x,a,inf),2023/7/7,黄建华制作,42,积分,例不可积问题 的定积分 可积。命令：syms x;int(exp(-x2/2),x,0,inf)ans=1/2*2(1/2)*pi(1/2)命令：syms x;I=int(exp(-x2/2),x,0,1)I=1/2*erf(1/2*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)可以使用vpa()函数显示数值：vpa(I,5)=0.85565,2023/7/7,黄建华制作,43,积分,例变限积分也可使用定积分求解：命令：syms x t;F=int(exp(t),t,2*x,sin(x)F=exp(sin(x)-exp(2*x)命令：Fx=diff(F,x)Fx=cos(x)*exp(sin(x)-2*exp(2*x),2023/7/7,黄建华制作,44,积分,重积分 重积分问题可以先化为累次积分的方式再使用 int()函数的嵌套来解决:例求二重积分：,2023/7/7,黄建华制作,45,积分,clear;syms x y;f=x2*sin(x*y);a1=int(f,x,y,1)a1=(-y2*cos(y)+2*cos(y)+2*y*sin(y)+y4*cos(y2).-2*cos(y2)-2*y2*sin(y2)/y3 I=int(a1,y,0,1)I=-1/2*sin(1)+1/2a2=int(f,y,0,x)a2=-cos(x2)*x+x I1=int(a2,x,0,1)I=-1/2*sin(1)+1/2,2023/7/7,黄建华制作,46,积分,数值积分 一元函数数值积分：q=quad(fun,a,b,tol)-采用辛普森计算积分q=quad8(fun,a,b,tol)-采用newton cotes方法计算积分q=quadl(fun,a,b,tol)-采用lobatto方法计算 tol表示绝对误差限，默认10-6，a,b是确定值;fun可以是字符串、内联函数或M函数名。二重数值积分：q=dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)inmin,inmax是内变量下限和上限，outmin,outmax是外变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形域上的积分。,2023/7/7,黄建华制作,47,积分,例4.1.21(2)求积分：比较下列三种结果：syms x;i=int(exp(-x2),x,0,1),vpa(i,15)i=1/2*erf(1)*pi(1/2)0.746824132812427f=inline(exp(-x.2,x);q1=quad(f,0,1)q1=0.74682418072642q2=quadl(f,0,1)q2=0.74682413398845,2023/7/7,黄建华制作,48,曲线积分与曲面积分,曲线积分与曲面积分总是可以通过类似于重积分的处理方法转化为定积分方式来求解。关键是掌握好转化公式和对积分限的要求。,2023/7/7,黄建华制作,49,曲线积分与曲面积分,例求对坐标的曲线积分：C是圆周x2+y2=ax的上半部分顺时针方向。命令：clear;syms x y a;y=sqrt(a*x-x2);ydx=diff(y,x);f=x2+y2+4*x*y*ydx;L=int(f,x,0,a)L=1/6*a3,2023/7/7,黄建华制作,50,空间解析几何与向量代数,主要内容有关向量的计算：模、方向余弦和方向角有关向量的计算：数量积、向量积空间曲线和曲面的绘制,2023/7/7,黄建华制作,51,空间解析几何与向量代数,有关向量的计算：模、方向余弦和方向角例求向量 的模、方向余弦和方向角。命令：clear;a=2,-3,5;mo=sqrt(sum(a.2)%模cx=2/mo;cy=-3/mo;cz=5/mo;c=cx,cy,cz%方向余弦ax=acos(cx);ay=acos(cy);az=acos(cz);%方向角A=ax,ay,az*180/pi%将弧度变为角度mo=6.1644c=0.3244-0.4867 0.8111 A=71.0682 119.1216 35.7958,2023/7/7,黄建华制作,52,空间解析几何与向量代数,有关向量的计算：数量积、向量积例求向量 和 的数量积、向量积。命令：clear;a=2,-3,1;b=1,-1,3;s=dot(a,b)%数量积等同于a*b ch=a*bs=8 ch=8 xlj1=cross(a,b)%a和 b向量积 xlj1=-8-5 1xlj2=cross(b,a)%b和 a向量积 xlj2=8 5-1,2023/7/7,黄建华制作,53,空间解析几何与向量代数,空间曲线和曲面的绘制 plot3(X,Y,Z)、mesh()、meshgrid()、surf()、ezmesh()等请参考具体的章节和帮助。例绘制函数：y=1/x围绕y轴旋转所形成的旋转曲面。命令：clear;x=0.2:0.001:0.5;y=1./x;X,Y,Z=cylinder(y,30);%命令 cylinder(x,n)生成.绕母线x的旋转曲面，n定义母线的分格线条数 mesh(X,Y,Z),2023/7/7,黄建华制作,54,级数,主要内容级数的求和与审敛泰勒展开傅立叶展开,2023/7/7,黄建华制作,55,级数,级数的求和与审敛 级数的求和与审敛实际是同一问题，只要可以求和，自然收敛。级数求和命令格式：symsum(fun,变量，起点，终点)省略变量则对默认变量求和。例求（1）（2）命令：clear;syms n;f1=(2*n-1)/2n;f2=1/(n*(2*n+1);I1=symsum(f1,n,1,inf)I1=3%收敛I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=2-2*log(2),2023/7/7,黄建华制作,56,级数,级数的求和与审敛例求：命令：clear;syms n m;f1=symsum(1/m,m,1,n);limit(f1-log(n)n,inf)ans=eulergamma%欧拉常数vpa(ans,20)ans,2023/7/7,黄建华制作,57,级数,级数的求和与审敛例求（1）（2）命令：clear;syms n x;f1=sin(x)/n2;f2=(-1)(n-1)*xn/n;I1=symsum(f1,n,1,inf)I1=1/6*sin(x)*pi2 I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=log(1+x),2023/7/7,黄建华制作,58,级数,泰勒展开 命令格式：taylor(fun,n，变量，a)fun为待展函数；n为展开阶数，缺省是6阶；变量为声明fun中的变量，省略变量则对默认变量展开；a为变量求导的取值点，缺省为0，即麦克劳林展开。例将 展开成幂级数。命令：clear;syms x;f=1/(1+x2);taylor(f)ans=1-x2+x4taylor(f,20)ans=1-x2+x4-x6+x8-x10+x12-x14+x16-x18,2023/7/7,黄建华制作,59,级数,例将 展开成(x-1)的幂级数。命令：clear;syms x;f=1/(x2+4*x+3);taylor(f,10,x,1)ans=7/32-3/32*x+7/128*(x-1)2-15/512*(x-1)3+31/2048*(x-1)4-63/8192*(x-1)5+127/32768*(x-1)6-255/131072*(x-1)7+511/524288*(x-1)8-1023/2097152*(x-1)9,2023/7/7,黄建华制作,60,级数,傅立叶展开 将函数展开为如下格式：可以结合MATLAB的积分命令int()计算：即可进行傅立叶展开。,2023/7/7,黄建华制作,61,微分方程,求解微分方程（组）由命令dsolve()完成。格式：dsolve(方程1,方程n,条件1，条件m,变量1,.,变量k)其中方程i为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省为默认。注意：在输入形式中，y记为Dy，y为D2y，,y(n)为Dny。t,x=ode23(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数)t,x=ode45(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数)分别采用二阶三级和四阶五级的RKF方法计算常微分方程的数值解，plot(t,x)为解曲线。,2023/7/7,黄建华制作,62,微分方程,例求解微分方程：(1)(2)命令：clear;syms x y;Y1=dsolve(Dy=1/(x+y),x)Y1=-lambertw(-C1*exp(-1-x)-1-x%lambertw(x)表示一种函数关系y*exp(y)=xY2=dsolve(D2y*y-Dy2=0,x)%若D2y*y改为y*D2y会提示出错，不符合某种规则 Y2=0 或exp(C1*x)*C2,2023/7/7,黄建华制作,63,微分方程,例求解微分方程：命令：clear;syms x y;f=(1+x2)*D2y=2*x*Dy;c1=y(0)=1,Dy(0)=3;Y=dsolve(f,c1,x)Y=1+3*x+x3,2023/7/7,黄建华制作,64,微分方程,例求解微分方程：命令：clear;syms x y;Y=dsolve(D2y-5*Dy+6*y=x*exp(2*x),x)Y=exp(3*x)*C2+exp(2*x)*C1-1/2*x*exp(2*x)*(2+x),2023/7/7,黄建华制作,65,微分方程,例求解微分方程组：命令：clear;syms t x y;x,y=dsolve(Dx=x-y,Dy=x+y,t)x=exp(t)*(C1*cos(t)-C2*sin(t)y=exp(t)*(C1*sin(t)+C2*cos(t),2023/7/7,黄建华制作,66,4.2 概率统计,随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征参数估计假设检验方差分析,2023/7/7,黄建华制作,67,4.2.1 随机变量及其分布,超几何分布H(n,M,N),命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现次品不多于x件的概率Fx=P次品数Xx=F(x)命令2：x=hygeinv(p,M,N,K)功能：在已知参数M、N、K和p的情况下计算随机量x，使得p=P0次品数Xx命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)功能：在已知参数M,N,K的情况下产生m*n维符合超几何分布的随机数矩阵X,2023/7/7,黄建华制作,68,4.2.1 随机变量及其分布,命令4：Px=hygepdf(x,M,N,K)功能：总共M件产品，其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现恰好x件次品的概率Px=PX=x命令5：stairs(x,Px)功能：绘制以 x为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图；当Px是分布列(或密度)时，绘制概率密度分布图；当Px是累积分布时，绘制概率分布函数图注：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数X；cdf-产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数p(x)或分布列Px=PX=xinv-计算x=F-1(p)p=F(x),2023/7/7,黄建华制作,69,4.2.1 随机变量及其分布,二项分布B(n,p),命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=binoinv(y,n,p)功能：计算随机量x，使得y=PXx命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X命令4：Px=binopdf(x,n,p)功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率,2023/7/7,黄建华制作,70,4.2.1 随机变量及其分布,泊松分布XP(),命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=poissinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率Px=PX=x,2023/7/7,黄建华制作,71,4.2.1 随机变量及其分布,正态分布XN(,2),命令1：Fx=normcdf(x,mu,sigma)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=norminv(p,mu,sigma)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=normpdf(x,mu,sigma)功能：计算分布密度p(x)在x的值补充：randn()-标准正态分布随机数,2023/7/7,黄建华制作,72,4.2.1 随机变量及其分布,指数分布Xexp(),命令1：Fx=expcdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=expinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=exppdf(x,lambda)功能：计算分布密度p(x)在x的值,2023/7/7,黄建华制作,73,4.2.1 随机变量及其分布,均匀分布XU(a,b),命令1：Fx=unifcdf(x,a,b)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=unifinv(p,a,b)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=unifpdf(x,a,b)功能：计算分布密度p(x)在x的值补充：rand()-(0,1)均匀分布随机数,2023/7/7,黄建华制作,74,4.2.1 随机变量及其分布,分布,命令:gamcdf(x,a,lambda),gaminv(p,a,lambda)gampdf(x,a,lambda),gamrnd(a,lambda,m,n),2023/7/7,黄建华制作,75,4.2.1 随机变量及其分布,2分布,命令:chi2cdf(x,k),chi2inv(p,k),chi2pdf(x,k)chi2rnd(k,m,n),2023/7/7,黄建华制作,76,4.2.1 随机变量及其分布,T分布,命令:tcdf(x,k),tinv(p,k),tpdf(x,k)trnd(k,m,n),2023/7/7,黄建华制作,77,4.2.1 随机变量及其分布,F分布,命令:fcdf(x,p,q),finv(F,p,q),fpdf(x,p,q)frnd(p,q,m,n),2023/7/7,黄建华制作,78,4.2.1 随机变量及其分布,例某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：(1)试计算x=45的概率和x45的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。,程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算x=45的概率 px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算x45的概率 fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图),2023/7/7,黄建华制作,79,4.2.1 随机变量及其分布,p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r);title(概率分布图),2023/7/7,黄建华制作,80,4.2.1 随机变量及其分布,例设XN(2,0.25)(1)求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。,程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数,正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5),2023/7/7,黄建华制作,81,4.2.1 随机变量及其分布,2023/7/7,黄建华制作,82,4.2.2 随机变量函数的分布,根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量X的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密度函数为：fY(x)=fX(h(y)|h(y)|,其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程,2023/7/7,黄建华制作,83,例设随机变量X服从均匀分布U0,1，求Y=eX的分布。,程序：clear;x=solve(y=exp(x)x=log(y)dy=diff(x,y)dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！,4.2.2 随机变量函数的分布,2023/7/7,黄建华制作,84,4.2.3 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望,1.数组的平均值-Y=mean(X)功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或m=mean(X(:)与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等2.离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3.连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望,2023/7/7,黄建华制作,85,4.2.3 随机变量的数字特征,例设随机变量X的分布列，求期望。,程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750,2023/7/7,黄建华制作,86,4.2.3 随机变量的数字特征,例设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。,程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/5,2023/7/7,黄建华制作,87,4.2.3 随机变量的数字特征,例设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。,程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=1,2023/7/7,黄建华制作,88,4.2.3 随机变量的数字特征,随机变量的方差,1.统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：var(var(X)缺省1，计算：否则计算：2.统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和1的解释同上3.一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算,2023/7/7,黄建华制作,89,4.2.3 随机变量的数字特征,例设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。,程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2,2023/7/7,黄建华制作,90,4.2.3 随机变量的数字特征,常见分布的期望和方差,1.二项分布-E,D=binostat(n,p)说明:n,p可以是标量,向量,矩阵,则E,D是对应的标量,向量,矩阵2.超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等,2023/7/7,黄建华制作,91,4.2.3 随机变量的数字特征,协方差与相关系数的计算,1.随机变量的协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差cov(X)-当X为向量时,cov(X)=var(X);当X为矩阵时,结果为X的协方差矩阵.对角线是X每列的方差,Xij为X的第i列和第j列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量X和Y的协方差值4.统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与cov()相同,2023/7/7,黄建华制作,92,4.2.3 随机变量的数字特征,矩的计算,1.随机变量的k阶中心矩-Bk=moment(X,k)2.随机变量的k阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X),2023/7/7,黄建华制作,93,4.2.4 参数估计,常用分布的参数估计,1.正态分布的参数估计格式：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)功能：数组X服从正态分布,给定显著水平alpha,缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时,针对列进行计算。2.二项分布的参数估计(n重已知,p未知)格式：phat,pu