MATLAB在复变函数中的应用.ppt

MATLAB,在复变函数中的应用 任宏伟，何雯，屠佳丽，胡柯庭，王丹丹，张燕,主 要 内 容1 复数和复矩阵的生成2 复数的运算 1.复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角 2.复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 3.复数的指数和对数运算、复数的三角运算、复数方程求根3 复变函数的极限、导数与积分4 复变函数的Taylor展开5 Laplace变换及其逆变换、Fourier变换及其逆变换6 留数7 复变函数的图像,2,1 复数的和复矩阵的生成,3,复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但又有明显不同于实变函数的特征。本章讲述的是Maltab在复变函数中的应用。正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变函数的Matlab命令和处理实变函数的命令是同一个命令。,1.1 复数的生成,复数可以由z=a+b*i语句生成,也可以简写为z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，也可以简写为z=r*exp(theta i)，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。,4,1.2创建复矩阵,创建复矩阵有两种方法：(1)同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：A=3+5*i，-2+3i，9*exp（i*6）,23*exp(33i)(2)可将实矩阵和虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如：re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im 结果为：com=0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i 0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i,2 复数的运算,5,2.1 复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角 1.复数实部和虚部 real(X)返回复数X的实部 imag(X)返回复数X的虚部 2.共轭复数 conj(X)返回复数X的共轭复数 3.复数的模和辐角 abs(X)返回复数X的模 angle(X)返回复数X的辐角 例1 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模和辐角,6,%complex01.ma=1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)(2-5i)/2i,i9-4*i21+iR=real(a)M=imag(a)Con=conj(a)Abs=abs(a)Ang=angle(a)%计算结果a=0.2308-0.1538i 1.5000-2.5000i-3.5000-13.0000i 0-2.0000iR=0.2308 1.5000-3.5000 0M=-0.1538-2.5000-13.0000-2.0000con=0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i-3.5000+13.0000i 0+2.0000iabs=0.2774 2.9155 13.4629 2.0000ang=-0.5880-1.0304-1.8338-1.5708,7,2.2 复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 1.复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。2.复数的平方根 sqrt(X)返回复数X的平方根值 3.复数的幂运算：Xn,2.3 复数的指数和对数运算、复数方程求根、复数的三角运算 1.复数的指数和对数运算 exp(X)返回复数X的以e为底的指数值 log(X)返回复数X的以e为底的对数值 2.复数的方程求根 复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数solve实现。例2 求方程x3+8=0的所有根。roots=solve(x3+8=0)roots=-2 1-i*3(1/2)1+i*3(1/2),8,3.复数的三角运算 复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表,3 复变函数的极限、导数和积分,9,3.1 复变函数的极限 求复变函数的极限仍然使用命令limit(),只是复变函数的极限存在条件比实变函数更加苛刻。复变函数极限存在要求复变函数的实部和虚部同时存在极限。命令格式如下：limit(F,x,a)例3 z为复数，有复变函数f(z)=z/(1+z),求极限：,%complex02.mclearsyms zf=z/(1+z);limit(f,z,1+5*i),10,3.2 复变函数的导数,计算复变函数导数的命令仍然是diff(),具体格式为：diff(function,varriable,b),例4 求ln(1+sinz)在z=i/2处的导数，,在z=3+i/2处的导数。,%complex03.mclearsyms zf1=log(1+sin(z);f2=sqrt(z-1)*(z-2);df1=diff(f1,z)df2=diff(f2,z)vdf1=subs(df1,z,i/2)vdf2=subs(df2,z,3+i/2),11,3.3 复变函数的积分,复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同，只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了。具体格式为：int(function,varriable,a,b)function为被积分的复变函数表达式，varibale为积分变量，a和b为积分下上限。,例5 计算定积分,%complex04.mclearsyms zf1=z*cos(z);f2=log(z+1)/(z+1);inf1=int(f1,z,0,i)inf2=int(f2,z,0,i),%计算结果inf1=cosh(1)-sinh(1)-1Inf2=1/2*log(1+i)2-1/2*log(2)2,4 复变函数的Taylor展开,12,4.1复变函数的Taylor展开,Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，比如复变函数的解析性等。函数f(x)在x=x0点的Taylor级数展开如下：,在Matlab中可由函数Taylor来实现，具体格式为：,例6 将后面的函数展开为复数变量z的幂级数,%complex05.mclearsyms zf=1/(1+z)2;F=taylor(f,10,z,0);,%计算结果F=1-2*z+3*z2-4*z3+5*z4-6*z5+7*z6-8*z7+9*z8-10*z9,f为需要展开的函数表达式，n声明输出展开式的前n项，varibale声明展开变量，a表示变量求导的取值点。,taylor(f,n,varriable,a),5 Laplace变换及其逆变换 Fourier变换及其逆变换,13,1.Laplace变换 L=laplace(F):返回默认独立变量t的符号表达式F的拉普拉斯变换,函数返回默认为s的函数。如果F=F(s),则Laplace函数返回t的函数L=L(t)。其中 L=L(s)=int(F(t)*exp(-s*t),0,inf)L=laplace(F,t):以t代替s的拉普拉斯变换。函数返回t的函数。其中 L=L(t)=int(F(s)*exp(-t*s),0,inf)L=laplace(F,w,z):以z代替s的拉普拉斯变换(相对于w的积分)。函数返回t的函数。其中 L=L(z)=int(F(w)*exp(-z*w),0,inf),5.1 Laplace变换及其逆变换,14,%complex06.mclearsyms a s t w zL1=laplace(x5)L2=laplace(exp(a*s)L3=laplace(sin(w*x),t)L4=laplace(cos(x*w),t)L5=laplace(xsym(3/2),t)%计算结果L1=120/s6L2=1/(t-a)L3=w/(t2+w2)L4=t/(t2+x2)L5=3/4*pi(1/2)/t(5/2),15,2.Laplace逆变换 F=ilaplace(F):返回默认独立变量s的符号表达式L的拉普拉斯变换,函数返回默认为t的函数。如果F=F(t),则iLaplace函数返回x的函数F=F(x)。这里 F=L(t)=int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf)其中c为选定的实数使得L(s)的所有奇点都在直线s=c的左侧。F=ilaplace(L,y):以y代替默认的t的函数，且有 ilaplace(L,y)=F(y)=int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf)F=ilaplace(L,y,x):以x代替t的函数。有 ilaplace(L,y,x)=F(y)=int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf),16,%complex07.mclearsyms s t w x yF1=ilaplace(1/(s-1)F2=ilaplace(1/(t2+1)F3=ilaplace(t(-sym(5/2),x)F4=ilaplace(y/y2+w2,y,x)F5=ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x)%计算结果F1=exp(t)F2=sin(x)F3=4/3/pi(1/2)*x(3/2)F4=cos(w*x)F5=F(x),17,5.2 Fourier变换及其逆变换,1.Fourier积分变换 F=fourier(f):返回默认独立变量x的数量符号f的fourier变换,返回默认为w的函数。如果f=f(w),则fourier函数返回t的函数F=F(t)。其中 F=F(w)=int(f(x)*exp(-i*w*x),-inf,inf)F=fourier(f,v):以v代替默认变量w的fourier变换。且 fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf)F=fourier(f,u,v):以v代替x且对u积分。且有 fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf),%complex08.msyms s v w xF1=fourier(1/t)F2=fourier(exp(-x2),x,t)F3=fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v)F4=fourier(diff(sym(F(x),x,w),%计算结果F1=i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w)F2=pi(1/2)*exp(-1/4*t2)F3=1/(1+i*v)F4=I*w*fourier(F(x),x,w),18,2.Fourier逆变换 f=ifourier(F):返回默认独立变量w的符号表达式F的fourier逆变换,返回x的函数。如果F=F(x),则ifourier函数返回t的函数f=f(t)。一般地 f(x)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*x),w,-inf,inf)f=ifourier(F,u):以u代替x,且 ifourier(F,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*u),w,-inf,inf)f=ifourier(F,v,u):以v代替w的fourier逆变换，且有 ifourier(f,v,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(v)*exp(i*v*u),v,-inf,inf),%complex09.msyms t u w xf1=ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w)f2=ifourier(1/(1+w2),u)f3=ifourier(v/(1+w2),v,u)f4=ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x),%计算结果f1=1/2/pi/(3-i*t)2f2=1/2*exp(-u)*Heaviside(u)+1/2*exp(u)*Heaviside(-u)f3=i/(1+w2)*Dirac(1,-u)f4=f(x),6 留数,19,6.1 留数的定义,留数在复变函数中有着重要地位，利用它可以来计算复变函数的积分。下面对于复变函数的分子和分母都是多项式的情形，给出留数的计算方法。,称为f(z)在a点的留数或残数，记作Resf(z),a。,6.2 留数的计算,设a是f(z)的孤立奇点，C是a的充分小的邻域内一条把a点包含在其内部的闭路，积分,20,Matlab提供了计算留数的命令residue()，这个命令用来处理分子和分母都为多项式形式的复变函数。计算留数的命令的格式如下：r,p,k=residue(B,A)参数B是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数A是由复变函数的分母的系数组成的向量，参数r返回留数，是由在不同奇点的留数组成的向量。参数p返回奇点，也是一个向量。参数k是个向量，由B/A的商的多项式系数组成，如果length(B)length(A)，则k为空向量，否则，length(k)=length(B)-length(A)+1。,另外命令residue()还可以根据已知的奇点p、奇点的留数r和k来计算分式复变函数的系数B和A，格式如下：B,A=residue(r,p,k）这个命令的各个参数的意义和上面的是完全一样的。,21,%complex10.mclearB=1,0;A=1,0,0,0,-1;R,P,K=residue(B,A)B,A=residue(r,p,k）,例7 计算下面复变函数的留数，然后根据计算的结果反求复变函数的分式,%计算结果R=0.2500 0.2500-0.2500+0.0000iP=-1.0000 1.0000 0.0000+1.0000iK=B=0 0.0000 1.0000 0.0000A=1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000,22,例8 计算下面复变函数的留数,%complex11.mclearB=1,3,0,2;A=1,6,-1;R,P,K=residue(B,A)%计算结果R=18.6706 0.3294P=-6.1623 0.1623K=1-3,23,例9 计算下面的积分,其中C为正向圆周，|z|=2。,P=-1.0000 1.0000 0.0000+1.0000iK=,可见圆周|z|=2内有四个奇点，所以积分值等于 2*pi*i*(0.25+0.25-0.25-0.25)=0,%complex12.mclearB=1,0;A=1,0,0,0,-1;R,P,K=residue(B,A)%计算结果R=0.2500 0.2500-0.2500+0.0000i,7 复变函数的图像,24,例10 分别绘出下面复数所表示的图形：z=cost+isint 和z=eit+e-it，t为实数。,%complex13.mclearsyms x y z t st=0:0.01*pi:pi;x=cos(t);y=sin(t);z1=x+i.*yplot(z1)title(z1=cos(t)+i*sin(t);s=-5:0.01:5;z2=exp(i.*s)+exp(-i.*s);Figureplot(z2)title(z2=exp(i*s)+exp(-i*s),25,26,习题：复变函数练习题,27,1.计算下列根式的值,2.解方程组,3.计算极限,4.计算f(z)=(z2-1)2(z2+1)2在点z=i/2处的一阶导数值。,5.计算复变函数的积分,28,6.对下面的表达式进行10项Taylor展开,7.计算下列表达式在其奇点的留数,8.绘出下面复数所表示的图象，t为实数,