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第七节 空间直线及其方程,一、空间直线方程,二、两直线的夹角,三、直线与平面的夹角,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,2、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,例如,当,可将对称式方程拆为一般方程,如对称式方程为,可写成一般方程,可将直线的对称式方程,又如,?,可写成一般方程,化为一般方程吗,各类直线方程的互换,例1 求过点A(1,2,-3)和B（2,-1,5）的直线方程.,解,因为直线过点A和B,所以:,例2.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,解,所以交点为,所求直线方程,解,例4,二、两直线间的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,直线,直线,例如，,例5.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,三.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例8.求过点(1,2,4)且与平面,解,为所求夹角,关于夹角的说明:,平面束,通过定直线的所有平面的全体称为平面束,设直线L的方程为,那么三元一次方程,称为通过直线L的平面束方程,注意：平面束方程（3）中不包含平面（2）,（2）,（3）,（1）,例10,解,投影直线的方程为,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,1995,数学一考研选择,(3分),C,/,提示,