lei2多元函数的极值及其求法.ppt
2023/7/7,1,第八节 多元函数的极值及其求法,第七章,(Absolute maximum and minimum values),一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结与思考练习,2023/7/7,2,一、多元函数的极值及最大值、最小值,定义 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,2023/7/7,3,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,定理1(必要条件),2023/7/7,4,时,具有极值,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,这个定理不加证明.,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2(充分条件),2023/7/7,5,2023/7/7,6,例1.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,2023/7/7,7,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,2023/7/7,8,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,2023/7/7,9,二、最值应用问题,函数f在闭域上连续,函数f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,2023/7/7,10,提示:,首先考察函数z在三角形区域D内的极值,其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.,2023/7/7,11,首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令,解此方程组，得到D内的驻点为(2,1).,解:令,2023/7/7,12,其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.,（1）在x=0上,z=0;,（2）在y=0上,z=0;,（3）在x+y=6上,解得驻点x=0和x=4,比较得最大值为4，最小值为64.,2023/7/7,13,把它折起来做成,解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板,2023/7/7,14,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,2023/7/7,15,二、条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,2023/7/7,16,例,解,2023/7/7,17,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,方法2 拉格朗日乘数法.,2023/7/7,18,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,2023/7/7,19,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,推广,2023/7/7,20,例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试,问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于 x,y,z,则,目标函数:,约束条件:,2023/7/7,21,例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后,转而求解,的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而,且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条,件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数,并求解以下方程组:,2023/7/7,22,两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得,为消去,将前三式分别乘以 x,y,z,则得,2023/7/7,23,得唯一稳定点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,思考:,1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?,提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等.,2023/7/7,24,解,则,由(1)，(2)得,由(1)，(3)得,2023/7/7,25,将(5)，(6)代入(4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,2023/7/7,26,例6 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗,日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离,目标函数:,约束条件:,的平方(这是等价的),即设,2023/7/7,27,求解以下方程组:,由此又得 再代入条件,式,继而求得:(这里 否则将无解),2023/7/7,28,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,最后得到,2023/7/7,29,注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系(也就是问题给出的条件)，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组.,2023/7/7,30,内容小结,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,2023/7/7,31,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,在条件,求驻点.,3.函数的最值问题,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),2023/7/7,32,作业,习 题 7-8 P116 2;8,2023/7/7,33,已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点 C,使,ABC 面积 S最大.,思考练习,解答提示:,设 C 点坐标为(x,y),则,2023/7/7,34,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形,面积最大.,点击图中任意点动画开始或暂停,2023/7/7,35,备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉格朗日函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,2023/7/7,36,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?,提示:,目标函数:,约束条件:,答案:,即四边形内接于圆时面积最大.,2.求平面上以,
