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第二章 控制系统的数学模型,前言 元件和系统微分方程的建立 非线性微分方程的线性化 拉普拉斯变换法求解微分方程 传递函数的概念 结构图、信号流图及梅森增益公式 闭环系统的传递函数小结,建立数学模型方法有分析法和实验法。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法是给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。本章重点研究分析法。,自控理论数学模型有多种形式。时域中有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。,2-1 控制系统的时域数学模型,1 线性元件的微分方程,解:设回路电流为 i(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为,假定R、L、C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程,也就是上图无源网络的时域数学模型。,例2-2 试列图2.2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量。图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。,从以上分析可以发现,物理结构不同的元件或系统,可以具有相同形式的数学模型,例如，前述的RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称之为相似系统.相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以,综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：,根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相应的微分方程；消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。,2 控制系统微分方程的建立,建立系统微分方程时，先由系统原理线路图或方块图，分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。,解 系统被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速，参据量是ui。系统由给定电位器、运算放大器I、运算放大器、功率放大器、测速发电机、减速器等组成。分别列写各元部件微分方程：,运算放大器I 给定电压ui与速度反馈电压ut合成，产生偏差电压并放大,运算放大器 u2与u1之间的微分方程为,直流电动机 直接引用例2-2所求得的直流电动机微分方程式(2-6),齿轮系 设速比为i，电机转速m经齿轮系减速后变为有,（2-10）,4 线性定常微分方程的求解,当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、拉氏变换法和数值计算方法。,用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数.传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响.,拉普拉斯变换方法求解的优点：拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以求得微分方程的全解。,4.1 拉普拉斯(Laplace)变换（参见附录A）,定义：,若F(s)是f(t)的拉氏变换，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记作f(t)=L-1F(s).F(s)和f(t)为 一个拉氏变换对。,拉氏变换表,表21 拉氏变换表(参见教材表A-3),位移定理：,线性定理：,微分定理：,当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：,终值定理：,初值定理：,一般地，象函数F(s)是复变数s的有理代数分式,则有,根据式(2-12),根据式(2-13),得原函数,(2)A(s)=0有重根时,故有原函数,(2-15),例2-6,根据式(2-15),4.2 拉氏变换发求解微分方程算例,例2-7 在例2-1中，若已知L1H，CIF，Rl，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。,解 在例2-1中得网络微分方程为,对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有,在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。,用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：,考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,5 非线性微分方程的线性化,实际上所有现实中的系统都不是线性的，为了便于分析和求解，通常要对系统进行“理想化”和“线性化”处理；手段:a.忽略非线性;b.小偏差线性化法,取某平衡状态点A,泰勒级数展开,小范围内以直代曲.,一般地,自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，而其被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。,2-2 控制系统的复数域数学模型-传递函数,拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,设 r(t)和 c(t)及其各阶导数在 t=0 时的值均为零,即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=Lc(t),R(s)=Lr(t)可得 s 的代数方程为,式中,传递函数与微分方程有相通性.在零初始条件下，若将微分方程的算符d/dt 用复数 s 置换便得到传递函数;反之亦可.,传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t).脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲 输入时的输出响应,此时,根据线性系统叠加原理,可分别求出ua(t)到m(t)和Mc(t)到m(t)的传递函数.先求,为此令Mc(t)=0,则有,传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数,系数K*=b0/a0称为传递系数或根轨迹增益.这种用零点和极点表示传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多.,在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函数的零极点分布图.在图中一般用 表示零点,用 表示极点.,图2-6 电位器及其特性,空载时,单个电位器的电刷角位移(t)与输出电压u(t)的关系曲线如图2-6(c)所示.图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差,理论分析时可用直线近似.由图可得输出电压为,式中,是电刷单位角位移对应的输出电压,称电位器传递系数(V/rad),其中 E 是电位器电源电压(V),是电位器最大工作角(rad).,用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压为,式中 K1 是单个电位器的传递系数,是两个电位器电刷角位移之差,称误差角.因此以误差角为输入时,误差检测器的传递函数与单个电位器的传递函数相同,即为,在使用电位器时要注意负载效应，即指在电位器输出端接有负载时所产生的影响。,图示电位器输出端接有负载电阻Rl时的电路图，设电位器电阻是Rp，可求得电位器输出电压为,图2-7 测速发电机示意图,图2-7(b)是交流测速发电机的示意图.在结构上它有两个互相垂直放置的线圈,其中一个是激磁绕组,接入一定频率的正弦额定电压;另一个是输出绕组.当转子旋转时,输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压 u(t),其频率与激磁电压频率相同,其传递函数及方块图亦同直流测速发电机.,两相伺服电动机,两相伺服电动机具有重量轻、惯性小、加速特性好的优点,是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构.,两相伺服电动机由互相垂直配置的两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成.定子线圈的一相是激磁绕组,另一相是控制绕组,通常接在功率放大器的输出端,提供数值和极性可变的交流控制电压.,两相伺服电动机的转矩-速度特性曲线有负的斜率,且呈非线性.图2-9(b)是在不同控制电压ua 时,实验测取的一组机械特性曲线.图中的虚线是线性化曲线,其线性化方程可表示为,图2-9 两相伺服电动机及其特性,式中 Mm 是电动机输出转矩,m 是电动机角速度,C=dMm/dm是阻尼系数,即机械特性线性化的直线斜率,Ms是堵转转矩,由图2-9(b)可得Ms=CMua.,无源网络,为了改善控制系统的性能,常在系统中引入无源网络作为校正元件.无源网络通常是由电阻、电容和电感组成.,求无源网络的传递函数,可用前述的方法,即列写网络微分方程，进行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用复数阻抗法.用复数阻抗法表示电阻时仍为 R,电容的复数阻抗为1/Cs,电感的复数阻抗为 Ls.,应该注意,求取无源网络传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应.,图2-11中,两个RC网络不相连接时,可视为空载,传递函数分别为,图2-11 负载效应示意图,若将 G1(s)与 G2(s)两方块串联连接,如图2-11右端,其传递函数为,但是,若将两个RC网络直接连接,则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为,单容水槽、电加热炉和双容水槽的传递函数,2-3 控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法.,与结构图相比,信号流图符号简单,更便于绘制和应用.但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线性系统.,信号线.带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图2-12(a);,引出点(测量点).表示信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全性同，如图2-12(b);,比较点(综合点).对两个以上的信号进行加减运算,“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可省略，如图2-12(c);,方框(环节).对信号进行的数学变换,框内为元部件或系统的传递函数,如图2-12(d).方框可视作单向运算的算子，方框的输出量等于其输入量与框内传递函数乘积,C(s)=G(s)U(s)。,图2-12 结构图的基本组成单元,绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用。而且，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。所以系统结构图也是控制系统的一种数学模型。,结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应的。一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示；而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统，或是一个大的复杂系统。,例2-10 绘制如图2-13所示 RC 无源网络的结构图,图2-13 RC无源网络,解 将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：,按照这些方程可分别绘制相应元件的方框图如图2-14(a)-(d)所示。然后用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图，见图2-14(e).,图2-14 RC无源网络结构图,2 结构图的等效变换和简化,由系统结构图通过等效变换(简化)可方便地求取闭环系统的传递函数或系统输出量响应。实际上，该过程对应于由元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程。,复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则，具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。,（l）串联方框的简化（等效）,传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的输出量作为G2(s)的输入量，则G1(s)与G2(s)称为串联连接。,图2-15 方框串联连接及其简化,（2）并联方框的简化（等效）,传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，如果它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则G1(s)与G2(s)称为并联连接。,图2-16 方框并联连接及其简化,（3）反馈连接方框的简化（等效）,图2-17 方框的反馈连接及其简化,比较点和引出点的移动,为便于方框的简化运算，有时需移动比较点或引出点位置。这时应注意移动前后必须保持信号的等效性，且比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。此外，“-”号可在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。,表2-2 结构图简化（等效变换）的基本规则,例2-11 试简化图2-18的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).,图2-18 例 2-11 系统结构图,图2-19 例 2-11 系统结构图的简化,解 在图中由于G1(s)与G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，但也不可简单地互换其位置。最简便方法是按规则(5)和规则(8)分别将比较点前移,引出点后移；然后进一步简化直至求得系统传递函数。,3 信号流图的组成及性质,该图起源于用图示法描述线性方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点代表方程式中的变量，以小圆圈表示；支路是连接两节点的定向线段，相当于乘法器。,源节点(输入节点)在该点上只有信号输出支路，没有信号输入支路，一般代表系统的输入量。,名词术语,阱节点(输出节点)该点上只有输入支路而没有输出支路，代表输出量。,混合节点 在该点上既有输入支路又有输出支路。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为阱节点.,4 信号流图的绘制,(1)由系统微分方程绘制信号流图,含有微分或积分的线性方程，应通过拉氏变换，变换为s的代数方程后再画信号流图。绘制时首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照变量的因果关系，从左向右顺字排列；然后，用标明支路增益的支路，根据方程式将各节点变量正确连接。,例2-13 试绘制例2-10的无源网络信号流图。,将各变量重新排列得下述方程式组：,(2)由结构图绘制信号流图,只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路，于是结构图就变换为相应的信号流图了。,注意：1.尽量精简节点的数目，但源节点或阱节点不能合并掉；2.在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点;3.在比较点之前有引出点对，就需在引出点和比较点各设置一个节点.,例2-14 试绘制图2-21所示系统结构图对应的信号流图.,图2-21 例2-14的结构图,5 梅森(Mason)增益公式,控制工程上常用梅森增益公式直接求取从源节点到阱节点的传递函数，以免简化结构图或信号流图的麻烦。,对于任意复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式为,(2-26),例2-15 试用梅森公式求例2-11系统的传递函数C(s)/R(s).,前向通路有一条(即n=1):p1=G1G2G3G4.,回路有三个:,没有不接触回路,且前向通路与所有回路都接触,故,例2-16 试用梅森公式求图2-23信号流图的传递函数C(s)/R(s).,图2-23 例2-16的信号流图,解:单独回路有四个即,两个互不接触的回路有四组,即,三个互不接触的回路有一组,即,1,于是,信号流图特征式为,因此,系统的传递函数为,前向通路共有四条,其增益及余因式分别为,1,6 闭环系统的传递函数,反馈控制系统的传递函数,一般可以由组成系统的元部件运动方程式求得,但更为方便的是由系统结构图或信号流图求取.一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如图2-24所示.,应用叠加原理,令N(s)=0,可直接求得输入信号R(s)到输出信号C(s)之间的传递函数为,由 可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为,输入信号下的闭环传递函数,应用叠加原理,令R(s)=0,可直接由梅森公式求得扰动作用N(s)到输出量C(s)之间的闭环传递函数,同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为,扰动作用下的闭环传递函数,上式表明,一定情况下系统的输出只取决于反馈传递函数H(s)及输入信号R(s),而与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用的影响.特别当H(s)=1时,.从而实现了对输入信号的完全复现,且对扰动具有较强的抑制能力.,在上式中,如果满足 的条件则可简化为,(3)闭环系统的误差传递函数,闭环系统在输入信号或扰动作用时，以误差信号E(s)作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。它们可由梅森增益公式求得,要指出的是，对于图2-24的典型反馈控制系统，其各种闭环系统传递函数的分母形式均相同，这是因为它们都是同一个信号流图的特征式，即=1+G1(s)G2(s)H(s)，式中G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，并称它为图2-24系统的开环传递函数，它等效为主反馈断开时，从输入信号R(s)到反馈信号B(s)之间的传递函数。此外，对于图2-24的线性系统，应用叠加原理可以研究系统在各种情况下的输出量C(s)或误差量E(s)，然后进行叠加，求出C(s)或E(s)。但绝不允许将各种闭环传递函数进行叠加后求其输出响应。,本章小结,1.数学模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学表达式，是对系统进行分析研究的主要依据。,2.根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须首先分析系统各元、部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映元、部件及系统动态本质的时域数学模型微分方程。,3.传递函数是一种复数域数学模型，结构图是传递函数的图形表示法，它直观形象地表示出系统中信号的传递变换特征，这将有助于对系统进行分析研究。同时，根据结构图，应用等效变换法则或者梅森增益公式可以迅速求得系统的各种传递函数。,本章作业,1.阅读教材2-4节：数学模型的实验测定法,2.课后习题：P70 2-2(c)，P70 2-3(a)，P71 2-11；P73 2-17(c,d,e)；P73 2-21(a),