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1,第十章 一元线性回归p351,10.1变量间关系的度量10.2一元线性回归10.3利用回归方程进行估计和预测10.4残差分析本章重点：一元线性回归的方法本章难点：一元线性回归的计算,2,10.1 变量间关系的度量,10.1.1.变量间关系10.1.2.相关关系的描述与测度10.1.3.相关关系的显著性检验,3,10.1.1.变量间关系,1）函数关系,是一一对应的确定关系设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量各观测点落在一条线上,4,函数关系(几个例子),函数关系的例子某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y=px(p 为单价)圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为 y=x1 x2 x3,5,2）,相关关系(correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个各观测点分布在直线周围,6,相关关系(几个例子),相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食亩产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系的类型,从涉及的变量数量看 简单相关 多重相关（复相关）从变量相关关系的表现形式看 线性相关散布图接近一条直线 非线性相关散布图接近一条曲线 从变量相关关系变化的方向看 正相关变量同方向变化，同增同减 负相关变量反方向变化，一增一减 不相关,8,10.1.2.相关关系的描述与测度P354,1）散点图(scatter diagram),9,散点图(例题分析)P357,【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图(例题分析),11,散点图(例题分析),12,2）相关系数(correlation coefficient),1.概念：对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,13,2.相关系数的计算公式（记住）,样本相关系数的计算公式,或化简为,14,3）相关系数取值及其意义,r 的取值范围是-1,1|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关 r=0，不存在线性相关关系-1r0，为负相关 0r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,相关系数的性质在p359,15,取值及其意义,r,16,X和Y 都是相互对称的随机变量；线性相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线性相关关系；样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，由于抽样随机性，样本相关系数是个随机变量，其统计显著性有待检验；相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线。,使用相关系数时应注意:,17,相关系数的例题分析,18,10.1.3.相关关系的显著性检验,1）r 的抽样分布,r是依据样本数据计算的，根据一个样本的相关系数能否说明总体的相关性呢？这需对样本相关系数的显著性进行检验。样本相关系数的理论分布函数是很复杂的。r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化。在进行这项检验时，天通常假设x与y是正态变量，如果总体相关系数=0,则样本相关系数r服从t分布,19,2）检验的步骤,检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数 b1的检验采用R.A.Fisher提出的 t 检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若 t t，拒绝H0 若 t t，不能拒绝H0,20,相关系数的显著性检验(例题分析),对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05).假设：H0：；H1：0.计算检验的统计量,根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.0687由于t=7.5344t(25-2)=2.0687，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,21,相关系数的显著性检验(例题分析),各相关系数检验的统计量,10.2.一元线性回归 p361-379,回归的古典意义：高尔顿遗传学的回归概念(父母身高与子女身高的关系)回归的现代意义：一个因变量对若干解释变量依存关系 的研究回归的目的（实质）：由固定的自变量(解释变量)去 估计因变量(被解释变量)的平均值,23,10.2.一元线性回归 p361-379,10.2.1 一元线性回归模型 回归模型、回归方程、估计的回归方程10.2.2 参数的最小二乘估计10.2.3 回归直线的拟合优度 判定系数、估计标准误差10.2.4 显著性检验 线性关系的检验、回归系数的检验12.2.5 回归分析结果的评价,10.2.1一元线性回归模型p362,什么是回归分析？(Regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量rxy=ryx；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,26,回归模型的类型,27,一元线性回归含义 p362,涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,28,1.一元线性回归模型具体形式 P362,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为理论回归模型一元线性回归模型可表示为 y=b0+b1 x+ey 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量(未纳入模型但对y有影响的诸多因素的综合影响)反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数,理论回归模型,29,一元线性回归模型基本假定 P363,因变量y与自变量x具有线性关系自变量x 取值是非随机的，y 是随机变量误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为 E(y)=0+1 x对于所有的 x 值，的方差2 都相同误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0,2)独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关,举例：假如已知100个家庭构成的总体,31,2.回归方程(regression equation)p365,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下 E(y)=0+1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,32,3.估计的回归方程(estimated regression equation)P365,一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是 未知的，必须利用样本数据去估计,其中：是估计的回归直线在 y 轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,33,10.2.2.参数的最小二乘估计 p365(ordinary least squares estimators),使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,34,最小二乘估计的图示,最小二乘法(和 的计算公式),根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,和 的计算公式 p367,根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下：（记住）,估计方程的求法(例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y=-0.8295+0.037895 x回归系数=0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,38,估计方程的求法(例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,用Excel进行回归分析,第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时 在“Y值输入区域”设置框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”设置框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值 在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项,10.2.3.回归直线的拟合优度p370,概念：样本回归线是对样本数据的 一种拟合，不同估计方法可 拟合出不同的回归线，拟合 的回归线与样本观测值总有 偏离。样本回归线对样本观 测数据拟合的优劣程度 拟合优度 拟合优度的度量建立在对总变差分解的基础上,41,回归直线的拟合优度的度量1、判定系数 p370,(1)变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示。,42,(2)变差的分解(图示)370,(3)离差平方和的分解(三个平方和的关系),44,1.总平方和(SST)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差2.回归平方和(SSR）（SSR：sum of squares for regression)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,(4)三个平方和的意义 p371,45,(5)判定系数r2(coefficient of determination),回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度取值范围在 0,1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2r2,46,判定系数与相关系数的关系：,联系：数值上判定(可决)系数是相关系数的平方 区别：判定系数 相关系数 就模型而言 就两个变量而言 说明解释变量对因变 说明两变量线性依存程度 量的解释程度 取值 有非负性 取值-1r1 可正可负,47,例题分析,【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,48,2.估计标准误差(standard error of estimate)P373,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,49,10.2.4.显著性检验 P374,1.线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)残差均方(MSE)：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)（注：P为字变量个）,50,线性关系的检验的步骤,提出假设H0：1=0 线性关系不显著,2.计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF,拒绝H0；若FF,不能拒绝H0,51,例题分析(以前面资料),提出假设H0：1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F=4.28作出决策：若FF,拒绝H0，线性关系显著,52,方差分析表 Excel 输出的方差分析表,53,2.回归系数的检验 p376,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,54,样本统计量 的分布,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于 未知，需用其估计量sy来代替得到 的估计的标准差,55,回归系数的检验检验步骤 P377,提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1 0(有线性关系)计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0；tt，不能拒绝H0,56,例题分析,对例题的回归系数进行显著性检验(0.05)提出假设H0：b1=0 H1：b1 0 计算检验的统计量,t=7.533515t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系,57,回归系数的检验例题分析表,P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有线性关系,58,3、三种检验的关系,在一元线性回归分析中，回归系数显著性的t检验、回归方程显著性的F检验，相关系数显著性 t检验，三者等价的，检验结果是完全一致的。对一元线性回归，只做其中 的一种检验即可。,10.2.5回归分析结果的评价 p378,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数 为正值如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明二者之间的线性关系是统计上显著的,60,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,10.2.5 回归分析结果的评价p379,61,Excel输出的部分回归结果,R2）,62,10.4残差分析 p384,1 用残差证实模型的假定2 用残差检测异常值和有影响的观测值,63,残差图(residual plot),表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图用于判断误差的假定是否成立 检测有影响的观测值,64,残差图(形态及判别),65,残差图(例题分析),66,标准化残差(standardized residual),残差除以它的标准差后得到的数值。计算公式为 sei是第i个残差的标准差，其计算公式为,67,标准化残差图,用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间,68,标准化残差图(例题分析),69,异常值(outlier),如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野点如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除,70,异常值识别,异常值也可以通过标准化残差来识别如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值,71,有影响的观测值,如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 一个有影响的观测值可能是一个异常值，即有一个值远远偏离了散点图中的趋势线对应一个远离自变量平均值的观测值或者是这二者组合而形成的观测值,72,有影响的观测值图示,不存在影响值的趋势,有影响的观测值,存在影响值的趋势,73,本 章 小 结,一、变量间关系的种类二、相关系数的计算、评价及检验三、回归模型、回归方程、估计回归方程的概念，回归方程参数的最小二乘估计四、判定系数、估计标准误差的 计算，及线性关系检验及 回归系数的检验五、回归分析结果的评价p378,