椭圆ppt课件.ppt

要点梳理1.椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大 于|F1F2|）的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆 的，两焦点间的距离叫做.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c,其中 a0,c0，且a，c为常数：（1）若，则集合P为椭圆；（2）若，则集合P为线段；（3）若，则集合P为空集.,9.5 椭圆,基础知识 自主学习,椭圆,焦点,焦距,ac,a=c,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离 心率等于()A.B.C.D.解析 设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,D,2.设P是椭圆 上的点.若F1，F2是椭圆 的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A.4 B.5 C.8 D.10 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.,D,3.已知椭圆x2sin-y2cos=1(0 2)的 焦点在y轴上，则 的取值范围是（）A.B.C.D.解析 椭圆方程化为 椭圆焦点在y轴上，又0 2，.,D,4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆 C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）A.9 B.1 C.1或9 D.以上都不对 解析 由题意得 a=5，c=4.a+c=9，a-c=1.,C,5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且 F1AF2是顶角为120的等腰三角形，则此 椭圆的离心率为.解析 由已知得AF1F2=30，故cos 30=，从而e=.,题型一 椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与 圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨 迹方程.两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为,探究提高 平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,知能迁移1,解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径，|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.答案 B,题型二 椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.,思维启迪,.,解 方法一 设所求的椭圆方程为由已知条件得 解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为,方法二 设所求椭圆方程为 两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,a=4.在方程 中，令x=c得|y|=,在方程 中，令y=c得|x|=,依题意有=3，b2=12.椭圆的方程为,探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)，由题目所给条件求出m、n即可.,知能迁移2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且 长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆 的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点P1(，1)、P2(-，-)，求椭圆的方程.解（1）若焦点在x轴上，设方程为(ab0).椭圆过P（3，0），又2a=32b,b=1,方程为,若焦点在y轴上，设方程为椭圆过点P（3，0），=1,又2a=32b,a=9,方程为所求椭圆的方程为,b=3.,（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程，则、两式联立，解得所求椭圆方程为,题型三 椭圆的几何性质【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上 一点，F1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1）在PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；（2）利用|PF1|PF2|sin 60可证.,思维启迪,（1）解 设椭圆方程为|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos 60.m+n=2a，m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn（当且仅当m=n时取等号）,4a2-4c23a2，即e.又0e1,e的取值范围是,（2）证明 由（1）知mn=mnsin 60=即PF1F2的面积只与短轴长有关.,探究提高（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的关系.（2）对F1PF2的处理方法,定义式的平方余弦定理面积公式,知能迁移3 已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴 上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，.（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右 焦点，求F1QF2的取值范围.解（1）F1（-c，0），则xM=-c，yM=，kOM=-.kAB=-，-=-，b=c，故e=,（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，F1QF2=，r1+r2=2a，|F1F2|=2c，cos=当且仅当r1=r2时，cos=0,题型四 直线与椭圆的位置关系【例4】（12分）椭圆C：的两 个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1|=，|PF2|=.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆 C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的 方程.,（1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；（2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解；方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）.,思维启迪,解（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.2分在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=，4分从而b2=a2-c2=4，所以椭圆C的方程为 6分,（2）方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为：y=k(x+2)+1,8分代入椭圆C的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A，B关于点M对称，所以 10分所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）12分,方法二 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1），8分设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2,由-得：因为A，B关于点M对称，所以x1+x2=-4,y1+y2=2,代入得即直线l的斜率为，10分所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）.12分,探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直 线和椭圆相交、相切或相离.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和 与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.（3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦 的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后，通常要检验.,知能迁移4 若F1、F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个 动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2.（1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B，使（其中O为坐 标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存 在，说明理由.,解（1）依题意，得2a=4，2c=2,所以a=2,c=,b=椭圆的方程为（2）显然当直线的斜率不存在，即x=0时，不满足条件.设l的方程为y=kx+2,由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y并整理，得,（1+4k2）x2+16kx+12=0.=(16k)2-4(1+4k2)12=16(4k2-3)0,解得k2.x1+x2=-,x1x2=,=0，=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4,k2=4.由可知k=2,所以，存在斜率k=2的直线l符合题意.,方法与技巧1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c,最小距离为a-c.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最 短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆 的通径.3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0e1).,思想方法 感悟提高,4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点.5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式=0 求斜率，也可设切点后求导数（斜率）.6.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断 是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否 在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.,失误与防范1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程椭圆的标准方程.2.求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联 立求方程组的解,根据解可以判断位置关系，若 方程组有解可求出交点坐标.3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某 一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单 调区间、最值时有重要意义.4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在 直线为坐标轴，中心为坐标原点.,5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与 y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点 在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y 轴上.6.注意椭圆的范围，在设椭圆 上点的坐标为P（x，y）时，则|x|a，这往往 在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因.,一、选择题1.（2008上海春招，14）已知椭圆=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A.4 B.5 C.7 D.8 解析 椭圆焦点在y轴上，a2=m-2，b2=10-m.又c=2，m-2-（10-m）=22=4.m=8.,定时检测,D,2.已知点M（，0）,椭圆=1与直线 y=k(x+)交于点A、B,则ABM的周长为（）A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N 恰为椭圆 的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a=42=8.,B,3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（）A.1B.C.2D.2 解析 设椭圆，则使三角 形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短 轴端点，S=2cb=bc=1 a22.a.长轴长2a2，故选D.,D,4.（2009浙江文，6）已知椭圆(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在 椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若=2，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.,解析 如图，由于BFx轴，故xB=-c,yB=,设P（0,t）,=2，（-a,t）=2a=2c,e=答案 D,5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是 等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A.B.C.D.解析 ABF2是等腰直角三角形，|AF1|=|F1F2|，将x=-c代入椭圆方程 从而 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1,由e(0,1),得e=-1.,C,6.(2009江西理,6)过椭圆 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦 点，若F1PF2=60,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解析 由题意知点P的坐标为F1PF2=60,即2ac=b2=(a2-c2).e2+2e-=0,e=或e=-(舍去).,B,二、填空题7.（2009广东理，11）已知椭圆G的中心在坐标 原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点 到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程 为.解析 设椭圆的长半轴为a，由2a=12知a=6,又e=,故c=3，b2=a2-c2=36-27=9.椭圆标准方程为,8.设椭圆（m0,n0）的右焦点与抛 物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的 标准方程为.解析 抛物线y2=8x的焦点是（2,0）,椭圆 的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=m=4,n2=12.从而椭圆的方程为,9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过 左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则 的值是.解析 由已知2bc=a2=b2+c2,b=c=设P（x0，y0），则x0=-c，|y0|=|PF1|.,三、解答题10.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P到两焦点的距离分别为，过P作长 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B 解（1）设椭圆的标准方程是 或,则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，a=.在方程 中令x=c得|y|=在方程 中令y=c得|x|=依题意并结合图形知=.b2=.即椭圆的标准方程为,（2）设经过两点A（0，2），B 的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得所求椭圆方程为x2+=1.,11.（2008辽宁文，21）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点（0，-）、（0，）的距 离之和等于4，设点P的轨迹为C.（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时?此时|的值是多少?解(1)设P（x，y），由椭圆的定义可知，点P 的轨迹C是以(0,-)、(0,)为焦点，长半 轴长为2的椭圆，它的短半轴长b=故曲线C的方程为x2+=1.,(2)设A（x1,y1)、B（x2,y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，故x1+x2=-,x1x2=-.若，则x1x2+y1y2=0.而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是x1x2+y1y2=化简得-4k2+1=0,所以k=.,当k=时，x1+x2=,x1x2=-,|=而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,12.已知椭圆C：=1(ab0)的离心率 为,且经过点P（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F是椭圆C的左焦点,判断以PF为直径的 圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说 明理由.,解（1）椭圆=1（ab0）的离心率为，且经过点P椭圆C的标准方程为,（2）a2=4，b2=3，c=椭圆C的左焦点坐标为（-1，0）.以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心坐标是（0，0），半径为2.以PF为直径的圆的方程为x2+圆心坐标是 半径为.由于两圆心之间的距离为故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.,返回,