D94多元函数复合函数求导法则.ppt

第4节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证:设 t 取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,(全导数公式),(t0 时,根式前加“”号),若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,与,不同,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,例1.设,解:,例2.设,解:,令,则,提示：,也可看成幂指函数,例3.,解:,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,例4.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导是一类重要的典型求导问题,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,例5.设,可导，,求,解：,题目改为,，则,令,为简便起见,引入记号,例6.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,这说明无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1.,例 8.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,解,例9.已知,例10.计算函数,的全微分.,解:,注意:x,y,具有 轮换对称性,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,思考与练习,1.,2.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,3.,求,解:由题设,(考研),4:已知,解:,