D85对弧长曲线积分.ppt

8.5 曲线积分,8.5.1 曲线积分的概念与性质,8.5.2 曲线积分的计算法,8.5.3 格林公式,8.5.4 曲线积分与路径无关的条件及,*曲线积分的应用,二元函数的全微分求积,3.理解对坐标的曲线积分的定义;,4.了解对坐标的曲线积分的性质;,5.掌握对坐标的曲线积分的计算方法;,6.了解两类曲线积分的关系;,1.理解对弧长的曲线积分的定义,物理意义和几何意义;,2.掌握对弧长的曲线积分的性质与计算方法；,7.掌握并能正确运用格林公式;,8.掌握平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件,基本要求,会求全微分的原函数.,上页 下页,第节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第 八章,上页 下页,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,的方法,可得,为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量,采用,上页 下页,“分割、近似代替、求和、取极限”,注意:,是定义在,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,称为积分弧段.,和对,上页 下页,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中,dx 可能为负.,上页 下页,3.对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义,物理意义,几何意义,表示的弧长.,曲线形构件的质量,4.性质,（k 为常数),(由 组成),上页 下页,表示,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,上页 下页,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,上页 下页,说明:,因此积分限必须满足,(2)注意到,因此上述计算公式类似于“换元法”.,因此,上页 下页,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,上页 下页,上页 下页,由上述定理得对弧长的曲线积分的一般计算步骤如下:,第一步 画出积分曲线L的草图；,第二步 写出L的方程;,第三步 化为定积分;,作法：,L的方程形式代入,弧微分用同一形式的表达式代入;,把被积函数中的x,y用积分曲线,变量参数化:,一类小放下:,化为定积分时要用参数的最小值,作为定积分的下限.,第四步 计算定积分.,(L的方程形式决定定积分形式),例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点 O(0,0),上页 下页,其中 L 是,所围成的扇形的整个边界.,上页 下页,解 由图可知,在,上，,在,上,故,例2.求,故,综上所述，得,故,上页 下页,上页 下页,例3.计算,其中 L 是抛物线,A(1,2)到点 B(1,-2)之间的一段弧.,上从点,解 为了得到单值函数,应把,的方程写成,因此,(因为被积函数为奇函数).,例4.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,上页 下页,例5.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,上页 下页,例6.计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,上页 下页,内容小结,1.定义,2.性质,(l 曲线弧 的长度),上页 下页,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,上页 下页,思考与练习,1.已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,分析:,上页 下页,作业P238 1(1),(2),上页 下页,备用题,1.设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,提示:分段积分,