D74空间直线及其方程.ppt

第四节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,第七章,三、有轴平面束,一、空间直线方程,1.对称式方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,表示.,例如,当 时，,若,表示？,2.参数式方程,设,得参数式方程:,3.一般式方程,因此其一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,是直线,外一点,点,例2.,求点 M0 到线 L 的距离.,解:,由直线方程可知,直线方向向量为,是直线 L上一点.,构成的平行四边形的面积为,所以点 M0 到线 L 的距离为,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,例3.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例4.求过点(1,2,4)且与平面,三、有轴平面束,设空间直线方程为,则过 L 的平面束方程为,令,则过 L 的平面束方程为,例5.求过直线 L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,解:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,应该还有一个平面，怎么丢了呢？,例6.求直线,在平面,上的投影直线方程.,解：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,一般式,对称式,参数式,1.空间直线方程,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,P228 A:1.(2),(4);2.(1);3;5.(2)6.(3)B:2;5,作业,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点.,即,故所求直线方程为,则有,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,